Привести задачу линейного программирования к симметричной форме записи с переменными х2 и х4

Предмет: Математика (раздел Операционные исследования/Линейное программирование)

Задание: Привести задачу линейного программирования к симметричной форме записи с переменными \(x_2\) и \(x_4\).

Шаг 1: Перепишем заданную задачу линейного программирования

Целевая функция:

\[ Z(X) = 3x_1 + 5x_2 - 2x_3 + 9x_4 \rightarrow \text{min} \]

Ограничения:

\[ \begin{cases} 3x_1 + 5x_2 - x_3 + 12x_4 = 33 \\ 4x_1 + 7x_2 - 2x_3 + 17x_4 = 45 \end{cases} \]

Условие неотрицательности:

\[ x_j \geq 0, \quad j = 1, 2, 3, 4 \]

Шаг 2: Приведение к симметричной форме

Для симметричной формы записи, переменные \(x_2\) и \(x_4\) должны быть основными переменными, а \(x_1\) и \(x_3\) - свободными. Рассмотрим целевую функцию и ограничения. Перепишем каждое из ограничений, выразив \(x_1\) и \(x_3\) через \(x_2\) и \(x_4\).

Ограничение 1:

\[ 3x_1 + 5x_2 - x_3 + 12x_4 = 33 \]

Выразим \(x_1\) через \(x_2, x_3\) и \(x_4\):

\[ 3x_1 = 33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4 \]

\[ x_1 = \frac{33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4}{3} \]

Ограничение 2:

\[ 4x_1 + 7x_2 - 2x_3 + 17x_4 = 45 \]

Выразим \(x_1\) через \(x_2, x_3\) и \(x_4\):

\[ 4x_1 = 45 - 7x_2 + 2x_3 - 17x_4 \]

\[ x_1 = \frac{45 - 7x_2 + 2x_3 - 17x_4}{4} \]

Союзные уравнения

Полученные выражения для \(x_1\) можно использовать, чтобы исключить \(x_1\) из целевой функции и ограничений. Объеденяя уравнения:

\[ \frac{33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4}{3} = \frac{45 - 7x_2 + 2x_3 - 17x_4}{4} \]

Выражение нового целевого уравнения

Используем выражения для \(x_1\) и \(x_3\) в ограничениях:

\[ Z(X) = 3 \left( \frac{33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4}{3} \right) + 5x_2 - 2 \left( \frac{45 - 7x_2 + 2x_3 - 17x_4}{4} \right) + 9x_4 \rightarrow \text{min} \]

Выражение новой системы

Таким образом, мы выразили все переменные через \(x_2\) и \(x_4\). Объединив условия и минимальные уравнения:

\(x_2, x_4 \geq 0\)

Решение данных изменений

Для симметричной формы линейного программирования:

Целевая функция:

\[ Z(X) = Z(x_2, x_4) -> \text{min} \]

Ограничения (свободные переменные \(x_1\) и \(x_3\) выражены через \(x_2\) и \(x_4\)):

\[ \begin{cases} x_1 = \frac{33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4}{3} \\ 0 = \frac{33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4}{3} - \frac{45 - 7x_2 + 2x_3 - 17x_4}{4} \end{cases} \]

Эти изменения позволяют провести анализ и решить задачу линейного программирования методом симплекс в общем виде.