Привести задачу линейного программирования к симметричной форме записи с переменными х2 и х4

Условие:

Привести задачу линейного программирования к симметричной форме записи с переменными х2 и х4:

Решение:

**Предмет:** Математика (раздел Операционные исследования/Линейное программирование) **Задание:** Привести задачу линейного программирования к симметричной форме записи с переменными \(x_2\) и \(x_4\). ### Шаг 1: Перепишем заданную задачу линейного программирования Целевая функция: \[ Z(X) = 3x_1 + 5x_2 - 2x_3 + 9x_4 \rightarrow \text{min} \] Ограничения: \[ \begin{cases} 3x_1 + 5x_2 - x_3 + 12x_4 = 33 \\ 4x_1 + 7x_2 - 2x_3 + 17x_4 = 45 \end{cases} \] Условие неотрицательности: \[ x_j \geq 0, \quad j = 1, 2, 3, 4 \] ### Шаг 2: Приведение к симметричной форме Для симметричной формы записи, переменные \(x_2\) и \(x_4\) должны быть основными переменными, а \(x_1\) и \(x_3\) - свободными. Рассмотрим целевую функцию и ограничения. Перепишем каждое из ограничений, выразив \(x_1\) и \(x_3\) через \(x_2\) и \(x_4\). ### Ограничение 1: \[ 3x_1 + 5x_2 - x_3 + 12x_4 = 33 \] Выразим \(x_1\) через \(x_2, x_3\) и \(x_4\): \[ 3x_1 = 33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4 \] \[ x_1 = \frac{33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4}{3} \] ### Ограничение 2: \[ 4x_1 + 7x_2 - 2x_3 + 17x_4 = 45 \] Выразим \(x_1\) через \(x_2, x_3\) и \(x_4\): \[ 4x_1 = 45 - 7x_2 + 2x_3 - 17x_4 \] \[ x_1 = \frac{45 - 7x_2 + 2x_3 - 17x_4}{4} \] ### Союзные уравнения Полученные выражения для \(x_1\) можно использовать, чтобы исключить \(x_1\) из целевой функции и ограничений. Обьеденяя уравнения: \[ \frac{33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4}{3} = \frac{45 - 7x_2 + 2x_3 - 17x_4}{4} \] ### Выражение нового целевого уравнения Используем выражения для \(x_1\) и \(x_3\) в ограничениях: \[ Z(X) = 3x_1 + 5x_2 - 2x_3 + 9x_4 \rightarrow \text{min} \] тоест после замены \(x_1\) и \(x_3\) от 2-х условий: \[ Z(X) = 3 \left( \frac{33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4}{3} \right) + 5x_2 - 2 \left( \frac{45 - 7x_2 + 2x_3 - 17x_4}{4} \right) + 9x_4 \rightarrow \text{min} \] ### Выражение новой системы Таким образом, мы выразили все переменные через \(x_2\) и \(x_4\). Обьеденив условия и минимальные уровнения: \[ x_2, x_4 \geq 0 \] ### Решение данных изменений Для симметричной формы линейного программирования: Целевая функция: \[ Z(X) = Z(x_2, x_4) -> \text{min} \] Ограничения (свободные переменные \(x_1\) и \(x_3\) выражены через \(x_2\) и \(x_4\)): \[ \begin{cases} x_1 = \frac{33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4}{3} \\ 0 = \frac{33 - 5x_2 + x_3 - 12x_4}{3} - \frac{45 - 7x_2 + 2x_3 - 17x_4}{4} \end{cases} \] Эти изменения позволяют провести анализ и решить задачу линейного программирования методом симплекс в общем виде.