Привести задачу линейного программирования к симметричной Форме записи переменными x1 и x2 (применяя метод Жордана-Гаусса)

Предмет: Операционные исследования (или линейное программирование)

Раздел: Задачи линейного программирования, приведение ЗЛП к симметричной форме записи

Дано: \[ Z(X) = -x_1 + 16x_2 + 2x_3 + 8x_4 \rightarrow \text{min} \]

Ограничения: \[ \begin{cases} -x_1 + 2x_2 + x_4 = 4, \\ 4x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 5, \\ x_j \geq 0, \quad j = 1,2,3,4. \end{cases} \]

Для приведения задачи линейного программирования к симметричной форме, введём дополнительные переменные разности (или излишка) \(x_5\) и \(x_6\) для того, чтобы преобразовать равенства в неравенства вида \(\leq\).

Шаги решения:

1. Приведем систему равенств к неравенствам \(\leq\) и \(\geq\): \[ \begin{cases} -x_1 + 2x_2 + x_4 - x_5 = 4, \quad x_5 \geq 0 \\ 4x_1 - x_2 + x_3 - x_4 - x_6 = 5, \quad x_6 \geq 0 \end{cases} \]
2. Запишем новую функцию цели и ограничения в симметричной записи: \[ Z = -x_1 + 16x_2 + 2x_3 + 8x_4 \rightarrow \text{min} \] при ограничениях: \[ \begin{cases} -x_1 + 2x_2 + x_4 - x_5 = 4, \\ 4x_1 - x_2 + x_3 - x_4 - x_6 = 5, \\ x_j \geq 0, \quad j = 1,2,3,4,5,6. \end{cases} \]

Теперь задача линейного программирования приведена к симметричной форме записи, добавив дополнительные переменные \(x_5\) и \(x_6\). Следующим шагом является построение симплекс-таблицы и применение метода симплексных преобразований или метода Жордана-Гаусса для нахождения оптимального решения, что выходит за рамки данной задачи.