Привести к каноническому виду задачу линейного программирования

У данной задачи линейного программирования необходимо привести её к каноническому виду.

Канонический вид задачи линейного программирования обычно включает функции-ограничения вида \(\leq\) и неотрицательные переменные. Рассмотрим нашу задачу:

Максимизировать: \[ Z(X) = 3x_1 - 2x_2 - 2x_3 \]

При ограничениях: \[ x_2 + x_3 \geq 4, \] \[ 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 6, \] \[ 2x_1 - x_2 + 2x_3 \leq 2, \] \[ x_j \geq 0, \quad j=1,2,3. \]

Шаг 1: Преобразовать все ограничения в форме \(\leq\). Преобразуем неравенство \[ x_2 + x_3 \geq 4 \rightarrow -(x_2 + x_3) \leq -4. \] Второе ограничение остается без изменений.

Шаг 2: Добавить дополнительные переменные (свободные неизвестные) для неравенств \(\geq\) и \(\leq\). Для первого ограничения добавим дополнительную переменную \(s_1\):

\[-(x_2 + x_3) + s_1 = -4, \quad s_1 \geq 0.\]

Для третьего ограничения добавим дополнительную переменную \(s_2\):

\[ 2x_1 - x_2 + 2x_3 + s_2 = 2, \quad s_2 \geq 0. \]

Итак, у нас будет следующая система ограничений:

Преобразованные ограничения:

\[-x_2 - x_3 + s_1 = -4,\]

\[ 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 6, \]

\[ 2x_1 - x_2 + 2x_3 + s_2 = 2, \]

\[ x_j \geq 0, \quad s_i \geq 0, \quad j=1,2,3, \quad i=1,2. \]

Шаг 3: Записать задачу в каноническом виде.

Целевая функция: \[ Z(X) = 3x_1 - 2x_2 - 2x_3 \rightarrow \max. \]

Ограничения:

\[-x_2 - x_3 + s_1 = -4, \]

\[ 2x_1 + x_2 + 2x_3 = 6, \]

\[ 2x_1 - x_2 + 2x_3 + s_2 = 2, \]

\[ x_j \geq 0, \quad s_i \geq 0, \quad j=1,2,3, \quad i=1,2. \]

Таким образом, мы привели задачу линейного программирования к каноническому виду.