Приведение задачи линейного программирования (ЗЛП) к канонической форме

Условие:

Привести З.Л.П. к канонической форме записи

Решение:

Задание относится к предмету "Математическое программирование", разделу "Линейное программирование". Задано приведение задачи линейного программирования (ЗЛП) к канонической форме. В данной задаче нам нужно привести ЗЛП к канонической форме. Это значит, что нужно преобразовать систему ограничений и целевую функцию так, чтобы все ограничения были равенствами, а переменные были неотрицательными. Дана целевая функция и система ограничений: \[Z = -5x_1 - 2x_2 - 3x_3 \rightarrow \min,\] Система ограничений: \[ \begin{cases} -3x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2, \\ -3x_1 + 4x_2 + 5x_3 \leq 10, \\ x_1 - 4x_2 + x_3 \geq 1, \\ x_j \geq 0, j = 1, 2, 3. \end{cases} \] ### Шаг 1: Преобразование систем неравенств в систему равенств 1. Второе ограничение \(-3x_1 + 4x_2 + 5x_3 \leq 10\) преобразуем в равенство с дополнительной неотрицательной переменной \(s_1\) (переменной излишка): \[ -3x_1 + 4x_2 + 5x_3 + s_1 = 10, \quad s_1 \geq 0. \] 2. Третье ограничение \(x_1 - 4x_2 + x_3 \geq 1\) преобразуем в равенство с дополнительной неотрицательной переменной \(s_2\) (переменной недостачи): \[ x_1 - 4x_2 + x_3 - s_2 = 1, \quad s_2 \geq 0. \] ### Шаг 2: Запись системы ограничений в канонической форме Теперь наша система ограничений выглядит следующим образом: \[ \begin{cases} -3x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2, \\ -3x_1 + 4x_2 + 5x_3 + s_1 = 10, \quad s_1 \geq 0, \\ x_1 - 4x_2 + x_3 - s_2 = 1, \quad s_2 \geq 0, \\ x_j \geq 0, \quad j = 1, 2, 3.\\ s_1 \geq 0, \\ s_2 \geq 0. \end{cases} \] ### Шаг 3: Каноническая форма записи целевой функции Целевая функция уже представлена в нужной форме, однако ее коэффициенты должны содержать только переменные \(x_1, x_2, x_3, s_1, s_2\): \[ Z = -5x_1 - 2x_2 - 3x_3 \rightarrow \min. \] ### Итоговая система Теперь задача линейного программирования в канонической форме выглядит так: \[ \begin{cases} -3x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2, \\ -3x_1 + 4x_2 + 5x_3 + s_1 = 10, \\ x_1 - 4x_2 + x_3 - s_2 = 1, \\ x_j \geq 0, \quad j = 1, 2, 3, \\ s_1 \geq 0, \\ s_2 \geq 0. \end{cases} \] Целевая функция: \[ Z = -5x_1 - 2x_2 - 3x_3 \rightarrow \min. \] Эта ЗЛП приведена к канонической форме.