Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Представить функцию f(x), заданную графически на промежутке, равном периоду, рядом Фурье в действительной форме
Условие:
Представить функцию f(x), заданную графически на промежутке, равном периоду, рядом Фурье в действительной форме. Построить АЧС.
Решение:
Определяем постановку задачи:
- Необходимо представить функцию \( f(x) \), заданную графически на заданном промежутке, с помощью ряда Фурье.
- Построить амплитудно-частотную спектральную характеристику (АЧС).
Это задание относится к курсу математического анализа, разделу "Ряды Фурье".
Шаг 1. Анализ графика функции
Смотрим на график функции \( f(x) \):
- Заданный промежуток: от \( -\pi \) до \( \pi \).
- Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат и меняет знак при \( x \rightarrow -x \)).
- Функция линейно возрастает от \(-\pi\) до \(\pi\).
Формула для функции:
\[ f(x) = \begin{cases} -\frac{x}{\pi} \cdot 3, & \text{для } -\pi \leq x \leq 0 \\ \frac{x}{\pi} \cdot 3, & \text{для } 0 \leq x \leq \pi \end{cases} \]В упрощенной форме:
\[ f(x) = \frac{3x}{\pi}. \]Шаг 2. Определение ряда Фурье
Для нечетной функции \( f(x) \), ряда Фурье в действительной форме (для нечетной функции):
\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right), \]где:
\[ b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) dx, \]и \( L = \pi \) для нашей функции.
\[ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{3x}{\pi} \sin(nx) dx. \]Шаг 3. Вычисление коэффициентов \( b_n \)
\[ b_n = \frac{6}{\pi^2} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx. \]Используем интегральное свойство:
\[ \int x \sin(ax) dx = \frac{\sin(ax)}{a^2} - \frac{x \cos(ax)}{a}, \]при \( a = n \):
\[ \int_0^\pi x \sin(nx) dx = \left[ \frac{\sin(nx)}{n^2} - \frac{x \cos(nx)}{n} \right]_0^\pi. \]При подстановке:
\[ \int_0^\pi x \sin(nx) dx = \frac{\sin(n\pi)}{n^2} - \frac{\pi \cos(n\pi)}{n} = 0 - \frac{\pi \cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi \cos(n\pi)}{n}. \]Так как \( \cos(n\pi) = (-1)^n \), то:
\[ b_n = \frac{6}{\pi^2} \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) = \frac{6 (-1)^n}{\pi n}. \]Таким образом, разложение в ряд Фурье:
\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 (-1)^n}{\pi n} \sin(nx). \]Шаг 4. Построение АЧС (амплитудно-частотной спектральной характеристики)
Амплитуды гармоник:
\[ \left| b_n \right| = \left| \frac{6 (-1)^n}{\pi n} \right| = \frac{6}{\pi n}. \]Следовательно, АЧС будет представлена в виде убывающего набора амплитуд, пропорциональных \(\frac{1}{n}\):
- \(\left| b_1 \right| = \frac{6}{\pi}\),
- \(\left| b_2 \right| = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi}\),
- \(\left| b_3 \right| = \frac{6}{3\pi} = \frac{2}{\pi}\),
- и так далее.
Для построения АЧС:
- По оси \(x\) откладываем номер гармоники \(n\).
- По оси \(y\) - значения амплитуд \(\left| b_n \right|\).
Заключение
Таким образом, мы нашли разложение функции \( f(x) = \frac{3x}{\pi} \) в ряд Фурье и вычислили амплитудно-частотную спектральную характеристику.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку