Представить функцию f(x), заданную графически на промежутке, равном периоду, рядом Фурье в действительной форме

Условие:

Представить функцию f(x), заданную графически на промежутке, равном периоду, рядом Фурье в действительной форме. Построить АЧС.

Решение:

Определяем постановку задачи: 1. Необходимо представить функцию \( f(x) \), заданную графически на заданном промежутке, с помощью ряда Фурье. 2. Построить амплитудно-частотную спектральную характеристику (АЧС). Это задание относится к курсу математического анализа, разделу "Ряды Фурье". ### Шаг 1. Анализ графика функции Смотрим на график функции \( f(x) \): - Заданный промежуток: от \( -\pi \) до \( \pi \). - Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат и меняет знак при \( x \rightarrow -x \)). - Функция линейно возрастает от \(-\pi\) до \(\pi\). Формула для функции: \[ f(x) = \begin{cases} -\frac{x}{\pi} \cdot 3, & \text{для } -\pi \leq x \leq 0 \\ \frac{x}{\pi} \cdot 3, & \text{для } 0 \leq x \leq \pi \end{cases} \] В упрощенной форме: \[ f(x) = \frac{3x}{\pi}. \] ### Шаг 2. Определение ряда Фурье Для нечетной функции \( f(x) \), ряда Фурье в действительной форме (для нечетной функции): \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right), \] где: \[ b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) dx, \] и \( L = \pi \) для нашей функции. \[ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{3x}{\pi} \sin(nx) dx. \] ### Шаг 3. Вычисление коэффициентов \( b_n \) \[ b_n = \frac{6}{\pi^2} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx. \] Используем интегральное свойство: \[ \int x \sin(ax) dx = \frac{\sin(ax)}{a^2} - \frac{x \cos(ax)}{a}, \] при \( a = n \): \[ \int_0^\pi x \sin(nx) dx = \left[ \frac{\sin(nx)}{n^2} - \frac{x \cos(nx)}{n} \right]_0^\pi. \] При подстановке: \[ \int_0^\pi x \sin(nx) dx = \frac{\sin(n\pi)}{n^2} - \frac{\pi \cos(n\pi)}{n} = 0 - \frac{\pi \cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi \cos(n\pi)}{n}. \] Так как \( \cos(n\pi) = (-1)^n \), то: \[ b_n = \frac{6}{\pi^2} \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) = \frac{6 (-1)^n}{\pi n}. \] Таким образом, разложение в ряд Фурье: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 (-1)^n}{\pi n} \sin(nx). \] ### Шаг 4. Построение АЧС (амплитудно-частотной спектральной характеристики) Амплитуды гармоник: \[ \left| b_n \right| = \left| \frac{6 (-1)^n}{\pi n} \right| = \frac{6}{\pi n}. \] Следовательно, АЧС будет представлена в виде убывающего набора амплитуд, пропорциональных \(\frac{1}{n}\): 1. \(\left| b_1 \right| = \frac{6}{\pi}\), 2. \(\left| b_2 \right| = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi}\), 3. \(\left| b_3 \right| = \frac{6}{3\pi} = \frac{2}{\pi}\), и так далее. Для построения АЧС: - По оси \(x\) откладываем номер гармоники \(n\). - По оси \(y\) - значения амплитуд \(\left| b_n \right|\). ### Заключение Таким образом, мы нашли разложение функции \( f(x) = \frac{3x}{\pi} \) в ряд Фурье и вычислили амплитудно-частотную спектральную характеристику.