Построить на плоскости область допустимых решений системы линейных неравенств и найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции Z(X).

Предмет: Математика

Раздел: Линейное программирование

Решение:

1. Построим область допустимых решений
   Дана система линейных неравенств:

    \begin{cases} 4x_1 - x_2 \geq 0, \ 2x_1 - x_2 \leq 0, \ x_1 + x_2 \leq 3, \ x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0. \end{cases} 

   Построим соответствующие прямые:

   • ( 4x_1 - x_2 = 0 ) → ( x_2 = 4x_1 )
   • ( 2x_1 - x_2 = 0 ) → ( x_2 = 2x_1 )
   • ( x_1 + x_2 = 3 )

2. Областью допустимых решений является пересечение полуплоскостей, определяемых этими неравенствами.

3. Определение вершин области
   Найдём точки пересечения:

   • Пересечение ( 4x_1 - x_2 = 0 ) и ( x_1 + x_2 = 3 ):
     Подставляем ( x_2 = 4x_1 ) в ( x_1 + x_2 = 3 ):
     x_1 + 4x_1 = 3 \Rightarrow 5x_1 = 3 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{5}, \quad x_2 = \frac{12}{5}
     Точка ( \left( \frac{3}{5}, \frac{12}{5} \right) ).

   • Пересечение ( 2x_1 - x_2 = 0 ) и ( x_1 + x_2 = 3 ):
     Подставляем ( x_2 = 2x_1 ) в ( x_1 + x_2 = 3 ):
     x_1 + 2x_1 = 3 \Rightarrow 3x_1 = 3 \Rightarrow x_1 = 1, \quad x_2 = 2
     Точка ( (1,2) ).

   • Пересечение ( 4x_1 - x_2 = 0 ) и ( 2x_1 - x_2 = 0 ):
     Приравниваем ( 4x_1 = x_2 ) и ( 2x_1 = x_2 ), получаем, что решений нет, кроме вырожденного случая ( x_1 = 0, x_2 = 0 ).

4. Следовательно, вершины ОДР:
   ( (0,0) ), ( \left( \frac{3}{5}, \frac{12}{5} \right) ), ( (1,2) ).

5. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
   Функция целевой функции:
   Z = -3x_1 - x_2

   Вычислим значения в вершинах:

   • В точке ( (0,0) ):
     Z = -3(0) - 0 = 0
   • В точке ( \left( \frac{3}{5}, \frac{12}{5} \right) ):
     Z = -3 \cdot \frac{3}{5} - \frac{12}{5} = -\frac{9}{5} - \frac{12}{5} = -\frac{21}{5} = -4.2
   • В точке ( (1,2) ):
     Z = -3(1) - 2 = -3 - 2 = -5

6. Ответ:

   • Наибольшее значение: ( Z_{max} = 0 ) (в точке ( (0,0) )).
   • Наименьшее значение: ( Z_{min} = -5 ) (в точке ( (1,2) )).