Определить, сколько дополнительных переменных нужно ввести при решении задачи линейного программирования (ЗЛП) симплекс-методом для данной системы ограничений

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (Симплекс-метод)

Задание:
Определить, сколько дополнительных переменных нужно ввести при решении задачи линейного программирования (ЗЛП) симплекс-методом для данной системы ограничений.

Анализ задачи:

Имеем систему ограничений:

 \begin{cases} 5x_1 - 2x_2 - 2x_3 = 3 \ x_1 + 3x_2 + x_3 \geq 4 \ 3x_1 - x_2 + x_3 \leq 12 \ x_1 \geq 0,\ x_2 \geq 0,\ x_3 \geq 0 \end{cases} 

Чтобы решить задачу симплекс-методом, необходимо привести систему ограничений к канонической форме, где все ограничения — уравнения, а все переменные — неотрицательные.

Шаг 1: Преобразование ограничений

1. Уравнение
   [5x_1 - 2x_2 - 2x_3 = 3]
   Это уже уравнение, но не стандартное, так как в симплекс-методе начальная базисная переменная должна быть искусственной.
   👉 Нужно ввести 1 искусственную переменную [a_1].

2. Неравенство "больше либо равно"
   [x_1 + 3x_2 + x_3 \geq 4]
   Преобразуем: вычитаем переменную избыточности [s_1] и добавляем искусственную переменную [a_2]:

[x_1 + 3x_2 + x_3 - s_1 + a_2 = 4]
👉 Вводим 1 переменную избыточности и 1 искусственную переменную.

3. Неравенство "меньше либо равно"
   [3x_1 - x_2 + x_3 \leq 12]
   Преобразуем: добавим переменную запаса [s_2]:

[3x_1 - x_2 + x_3 + s_2 = 12]
👉 Вводим 1 переменную запаса, искусственная переменная не требуется.

Шаг 2: Подсчет дополнительных переменных

• Переменные запаса: 1 (из 3-го ограничения)
• Переменные избыточности: 1 (из 2-го ограничения)
• Искусственные переменные: 2 (из 1-го и 2-го ограничения)

Ответ:
При решении данной задачи симплекс-методом необходимо ввести:

• 1 переменную запаса
• 1 переменную избыточности
• 2 искусственные переменные

Итого дополнительных переменных:

[1 + 1 + 2 = 4]

✅ Ответ: 4 дополнительных переменных.