Определить оптимальный суточный объем производства двух моделей электронных часов, чтобы прибыль была максимальной

Предмет: Математика

Раздел: Линейное программирование

Условие задачи:

Предприятию необходимо определить оптимальный суточный объем производства двух моделей электронных часов, чтобы прибыль была максимальной. При этом имеются ограничения на ресурсы и производственные мощности.

1. Обозначения:

Пусть:

• x_1 — количество часов первой модели, производимых за сутки;
• x_2 — количество часов второй модели, производимых за сутки.

Прибыль:

• Прибыль от реализации одного изделия первой модели — 1 ден. ед.
• Прибыль от реализации одного изделия второй модели — 2 ден. ед.
• Целевая функция: максимизировать прибыль Z = x_1 + 2x_2.

Ограничения:

1. Ограничения на производственные мощности:

   • x_1 \leq 40 (первая бригада);
   • x_2 \leq 45 (вторая бригада).

2. Ограничения на использование ресурсов:

   • На часы первой модели требуется 3 элемента вида I и 3 элемента вида II;
   • На часы второй модели требуется 4 элемента вида I и 1 элемент вида II;
   • Запас элементов вида I: 3x_1 + 4x_2 \leq 225;
   • Запас элементов вида II: 3x_1 + x_2 \leq 135.

3. Неотрицательность переменных:

   • x_1 \geq 0, x_2 \geq 0.

2. Математическая модель:

Составим задачу линейного программирования:

Максимизировать:
Z = x_1 + 2x_2

При ограничениях:
\begin{cases} x_1 \leq 40, \ x_2 \leq 45, \ 3x_1 + 4x_2 \leq 225, \ 3x_1 + x_2 \leq 135, \ x_1 \geq 0, \ x_2 \geq 0. \end{cases}

3. Решение графическим методом:

Построим область допустимых решений, учитывая ограничения, и найдем точку, где целевая функция Z = x_1 + 2x_2 достигает максимума.

Шаги:

1. Построим линии ограничений:

   • x_1 = 40 — вертикальная линия.
   • x_2 = 45 — горизонтальная линия.
   • 3x_1 + 4x_2 = 225— прямая, проходящая через точки:
     • x_1 = 0, x_2 = 56.25 (ограничим x_2 = 45);
     • x_1 = 75, x_2 = 0.
   • 3x_1 + x_2 = 135— прямая, проходящая через точки:
     • x_1 = 0, x_2 = 135 (ограничим x_2 = 45);
     • x_1 = 45, x_2 = 0.

2. Найдем пересечения ограничений:

   • Точка A: (0, 45) (пересечение x_2 = 45 и 3x_1 + x_2 = 135);
   • Точка B: (30, 45) (пересечение 3x_1 + 4x_2 = 225 и x_2 = 45);
   • Точка C: (40, 15) (пересечение x_1 = 40 и 3x_1 + x_2 = 135);
   • Точка D: (40, 0) (пересечение x_1 = 40 и x_2 = 0).

3. Подставим координаты точек в целевую функцию:

   • В точке A: Z = 0 + 2 \cdot 45 = 90.
   • В точке B: Z = 30 + 2 \cdot 45 = 120.
   • В точке C: Z = 40 + 2 \cdot 15 = 70.
   • В точке D: Z = 40 + 2 \cdot 0 = 40.

4. Оптимальное решение:

Оптимальный объем производства:

• x_1 = 30 (первая модель);
• x_2 = 45 (вторая модель).

Максимальная прибыль: Z = 120 ден. ед.

5. Остатки ресурсов:

1. Расход элементов вида I: 3x_1 + 4x_2 = 3 \cdot 30 + 4 \cdot 45 = 225.
   Остаток: 225 - 225 = 0.

2. Расход элементов вида II: 3x_1 + x_2 = 3 \cdot 30 + 45 = 135.
   Остаток: 135 - 135 = 0.

6. Экономическая интерпретация:

Для максимизации прибыли предприятие должно производить 30 часов первой модели и 45 часов второй модели. При этом все доступные ресурсы будут полностью израсходованы. Максимальная прибыль составит 120 ден. ед.