Определить, на каком отрезке этот минимум достигается во всех точках

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (линейное программирование, оптимизация на области)

Условие задачи:

Дана линейная функция двух переменных, определённая на треугольной области с вершинами:

• A(1;1)
• B(3;1)
• C(3;3)

Известно, что минимум функции достигается в точке (2;2). Нужно определить, на каком отрезке этот минимум достигается во всех точках.

Анализ задачи:

Линейная функция двух переменных имеет вид:

f(x, y) = ax + by + c

Если минимум достигается в точке (2;2) и функция линейная, то это возможно только если функция постоянна (т.е. минимальна) на всём отрезке, содержащем эту точку, поскольку линейная функция достигает экстремума на границе области (если не постоянна вдоль направления).

Следовательно, точка (2;2) должна лежать на отрезке, вдоль которого функция принимает одинаковое значение (минимум).

Посмотрим, на каком отрезке из предложенных вариантов лежит точка (2;2):

1. AB: A(1;1), B(3;1) — это горизонтальный отрезок на уровне y = 1.
   Точка (2;2) не лежит на этом отрезке.

2. BC: B(3;1), C(3;3) — вертикальный отрезок на уровне x = 3.
   Точка (2;2) не лежит на этом отрезке.

3. AC: A(1;1), C(3;3) — проверим, лежит ли точка (2;2) на этом отрезке.

Параметрическое уравнение отрезка AC:

x = 1 + t(3 - 1) = 1 + 2t
y = 1 + t(3 - 1) = 1 + 2t
где t \in [0, 1]

При t = 0.5 получаем:

x = 1 + 2 \cdot 0.5 = 2,
y = 1 + 2 \cdot 0.5 = 2

Значит, точка (2;2) действительно лежит на отрезке AC.

Вывод:

Минимум достигается в каждой точке отрезка AC.

✅ Правильный ответ: 3. AC