Определить количество каждого из четырёх шихтовых материалов которые нужно использовать, чтобы получить 400 кг сплава

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (оптимизация)

📌 Условие задачи:

Нам нужно определить количество каждого из четырёх шихтовых материалов ( A_1, A_2, A_3, A_4 ), которые нужно использовать, чтобы:

1. Получить 400 кг сплава,
2. Содержания химических элементов ( B_1 ) и ( B_2 ) в сплаве были 62.5% и 37.5% соответственно,
3. Общая стоимость была минимальной.

📋 Дано:

Химический состав (%):

Требования:

• Масса сплава: 400 кг
• Содержание в сплаве:
  • ( B_1 ): 62.5% → [0.625 × 400 = 250 кг]
  • ( B_2 ): 37.5% → [0.375 × 400 = 150 кг]

🔧 Обозначим переменные:

Пусть:

• [x_1] — масса материала [A_1],
• [x_2] — масса материала [A_2],
• [x_3] — масса материала [A_3],
• [x_4] — масса материала [A_4].

🎯 Целевая функция:

Минимизировать стоимость:

 Z = 70x_1 + 110x_2 + 90x_3 + 160x_4 \rightarrow \min 

📎 Ограничения:

1. Общая масса смеси:  x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 400 

2. Масса элемента [B_1] в сплаве:  0.5x_1 + 0.2x_2 + 0.5x_3 + 0.1x_4 = 250 

3. Масса элемента [B_2] в сплаве:  0.4x_1 + 0.1x_2 + 0.1x_3 + 0.1x_4 = 150 

4. Неотрицательность переменных:  x_1 \geq 0,\quad x_2 \geq 0,\quad x_3 \geq 0,\quad x_4 \geq 0 

✅ ИТОГО: Математическая модель

 \begin{cases} \text{Минимизировать: } Z = 70x_1 + 110x_2 + 90x_3 + 160x_4 \ \text{при условиях:} \ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 400 \ 0.5x_1 + 0.2x_2 + 0.5x_3 + 0.1x_4 = 250 \ 0.4x_1 + 0.1x_2 + 0.1x_3 + 0.1x_4 = 150 \ x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0 \end{cases} 

📌 Что дальше?

Теперь эту задачу можно решить методами линейного программирования:

• Симплекс-методом вручную,
• Или с помощью программ (Excel Solver, Python (SciPy / PuLP), MATLAB и др.)

Хочешь, я решу эту задачу численно с помощью Python?