Нужно установить соответствие между графиками и задачами линейного программирования (ЗЛП)

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (ЛП)

Задание:

Нужно установить соответствие между графиками и задачами линейного программирования (ЗЛП). Каждая задача включает:

• Целевую функцию
• Систему ограничений

Шаг 1: Анализируем первую задачу

Задача 1:

Q(x) = 3x_1 + 2x_2 \rightarrow \max
Ограничения:  \begin{cases} x_1 - x_2 + 2 \ge 0, \ 3x_1 - 2x_2 - 6 < 0, \ 2x_1 + x_2 \ge 0, \ x_2 \le 3, \ x_1 \ge 0, x_2 \ge 0. \end{cases} 

Перепишем в стандартной форме (всё через ≤):  \begin{cases} x_1 - x_2 \ge -2, \ 3x_1 - 2x_2 < 6, \ 2x_1 + x_2 \ge 0, \ x_2 \le 3, \ x_1 \ge 0, x_2 \ge 0. \end{cases} 

Находим график, в котором:

• Область ограничена сверху по x_2 \le 3,
• Есть граница 3x_1 - 2x_2 = 6 (проверяем наклон и пересечения),
• Область в первом квадранте.

? Совпадает с графиком №4

Шаг 2: Анализируем вторую задачу

Задача 2:

Q(x) = -3x_1 + 7x_2 \rightarrow \max
Ограничения:  \begin{cases} 5x_1 - x_2 \ge 0, \ x_1 + x_2 \ge 5, \ x_1 \le 3, \ 2x_1 + 3x_2 < 0. \end{cases} 

Особенность: последнее ограничение 2x_1 + 3x_2 < 0 — область лежит ниже этой прямой, а она проходит через отрицательные значения.

? Совпадает с графиком №3 — область в отрицательной части, пересекаются прямые, как в условиях.

Шаг 3: Анализируем третью задачу

Задача 3:

Q(x) = -4x_1 + 5x_2 \rightarrow \max
Ограничения:  \begin{cases} 3x_1 - x_2 \ge 0, \ x_1 \le 6, \ 2x_1 + x_2 \le 16, \ x_1 + 2x_2 \ge 2, \ x_1 - x_2 \ge 3. \end{cases} 

Здесь много ограничений, пересечения образуют многоугольник в положительной области.

? Совпадает с графиком №2

Остался график №1 — он соответствует никакой из оставшихся задач, но по логике — он должен быть лишним (или соответствовать одной из задач, если перепутаны номера).

Ответ:

1. Задача 1 → График 4
2. Задача 2 → График 3
3. Задача 3 → График 2

✅ Итоговое соответствие:

• Первая задача — график 4
• Вторая задача — график 3
• Третья задача — график 2