Нужно спланировать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая прибыль

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (оптимизация)

Условие задачи:

Для изготовления изделий двух видов склад может отпустить не более 150 + N кг, причем на изделие первого вида расходуется 5 кг, а на изделие второго вида — 3 кг. Нужно спланировать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая прибыль, если:

• изделий первого вида требуется изготовить не более 20 штук,
• изделий второго вида — не более 25 штук,
• изделие первого вида стоит \frac{2N + 1}{2} рублей,
• изделие второго вида стоит \frac{2N + 1}{3} рублей.

Задано N = 13.

Шаг 1: Запишем переменные

Обозначим:

• x — количество изделий первого вида,
• y — количество изделий второго вида.

Шаг 2: Запишем ограничения

1. Ограничение по весу:

5x + 3y \leq 150 + N

Подставим N = 13:

5x + 3y \leq 163

2. Ограничения на количество изделий:

x \leq 20

y \leq 25

3. Неотрицательность:

x \geq 0, \quad y \geq 0

Шаг 3: Запишем функцию прибыли

Цена изделий:

• первого вида: \frac{2N + 1}{2} = \frac{2 \cdot 13 + 1}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 рублей,
• второго вида: \frac{2N + 1}{3} = \frac{27}{3} = 9 рублей.

Функция прибыли:

P = 13.5 x + 9 y

Шаг 4: Постановка задачи оптимизации

Максимизировать:

P = 13.5 x + 9 y

при условиях:

\begin{cases} 5x + 3y \leq 163 \ x \leq 20 \ y \leq 25 \ x \geq 0 \ y \geq 0 \end{cases}

Шаг 5: Решение задачи графически (или аналитически)

Найдем точки пересечения ограничений.

• Пересечение x = 20 и 5x + 3y = 163:

5 \cdot 20 + 3y = 163 \implies 100 + 3y = 163 \implies 3y = 63 \implies y = 21

Точка: (20, 21)

• Пересечение y = 25 и 5x + 3y = 163:

5x + 3 \cdot 25 = 163 \implies 5x + 75 = 163 \implies 5x = 88 \implies x = 17.6

Точка: (17.6, 25)

Шаг 6: Проверим прибыль в угловых точках допустимой области

• Точка (0, 0): P = 0
• Точка (20, 0): P = 13.5 \cdot 20 + 9 \cdot 0 = 270
• Точка (0, 25): P = 13.5 \cdot 0 + 9 \cdot 25 = 225
• Точка (20, 21): P = 13.5 \cdot 20 + 9 \cdot 21 = 270 + 189 = 459
• Точка (17.6, 25): P = 13.5 \cdot 17.6 + 9 \cdot 25 = 237.6 + 225 = 462.6

Шаг 7: Вывод

Максимальная прибыль достигается при x = 17.6, y = 25 с прибылью 462.6 рублей.

Поскольку количество изделий должно быть целым числом, рассмотрим целые точки рядом с (17.6, 25):

• (17, 25): P = 13.5 \cdot 17 + 9 \cdot 25 = 229.5 + 225 = 454.5
• (18, 25) не подходит, так как 5 \cdot 18 + 3 \cdot 25 = 90 + 75 = 165 > 163 (нарушение ограничения по весу).

Значит, оптимальное целочисленное решение:

x = 17, \quad y = 25 с прибылью 454.5 рублей.

Ответ:

Производить 17 изделий первого вида и 25 изделий второго вида, тогда прибыль будет максимальной и составит 454.5 рублей.