Найти оптимальные объемы производства холодильников двух моделей, при которых прибыль будет максимальной

Предмет: Математика

Раздел: Линейное программирование

Задача: Найти оптимальные объемы производства холодильников двух моделей, при которых прибыль будет максимальной, с учетом ограничений на ресурсы и производственные мощности.

Постановка задачи

Обозначим:

• x_1 — количество холодильников первой модели.
• x_2 — количество холодильников второй модели.

Целевая функция (прибыль):

Z = 30x_1 + 15x_2 \to \max

Ограничения:

1. Ограничения на производственные мощности: x_1 \leq 45
   x_2 \leq 40

2. Ограничения на элементы вида I: x_1 + 5x_2 \leq 205

3. Ограничения на элементы вида II: 4x_1 + 3x_2 \leq 225

4. Неотрицательность переменных: x_1 \geq 0, \, x_2 \geq 0

Решение задачи

1. Построим таблицу расхода ресурсов:

2. Графическое решение (если требуется):

Для графического решения построим линии ограничений на координатной плоскости (x_1, x_2) и найдем область допустимых решений.

3. Решение методом симплекс-таблицы:

Для точного решения используем симплекс-метод либо метод угловых точек.

Угловые точки области допустимых решений:

Находим пересечения линий ограничений. Решим системы уравнений для каждой пары ограничений.

1. Пересечение x_1 + 5x_2 = 205 и 4x_1 + 3x_2 = 225: Решаем систему:  \begin{cases} x_1 + 5x_2 = 205 \ 4x_1 + 3x_2 = 225 \end{cases}  Умножим первое уравнение на 4:  \begin{cases} 4x_1 + 20x_2 = 820 \ 4x_1 + 3x_2 = 225 \end{cases}  Вычитаем второе из первого: 17x_2 = 595 \implies x_2 = 35
   Подставляем x_2 = 35 в первое уравнение: x_1 + 5 \cdot 35 = 205 \implies x_1 = 30
   Точка пересечения: (30, 35).

2. Пересечение x_1 + 5x_2 = 205 и x_2 = 40: Подставляем x_2 = 40 в первое уравнение: x_1 + 5 \cdot 40 = 205 \implies x_1 = 5
   Точка пересечения: (5, 40).

3. Пересечение 4x_1 + 3x_2 = 225 и x_2 = 40: Подставляем x_2 = 40 в уравнение: 4x_1 + 3 \cdot 40 = 225 \implies 4x_1 = 105 \implies x_1 = 26.25
   Точка пересечения: (26.25, 40).

4. Пересечение x_1 = 45 и 4x_1 + 3x_2 = 225: Подставляем x_1 = 45 в уравнение: 4 \cdot 45 + 3x_2 = 225 \implies 3x_2 = 45 \implies x_2 = 15
   Точка пересечения: (45, 15).

4. Вычисление прибыли в угловых точках:

Подставляем координаты угловых точек в целевую функцию Z = 30x_1 + 15x_2.

1. В точке (30, 35):
   Z = 30 \cdot 30 + 15 \cdot 35 = 900 + 525 = 1425.

2. В точке (5, 40):
   Z = 30 \cdot 5 + 15 \cdot 40 = 150 + 600 = 750.

3. В точке (26.25, 40):
   Z = 30 \cdot 26.25 + 15 \cdot 40 = 787.5 + 600 = 1387.5.

4. В точке (45, 15):
   Z = 30 \cdot 45 + 15 \cdot 15 = 1350 + 225 = 1575.

5. Оптимальное решение:

Максимальная прибыль достигается в точке (45, 15).

Ответ:

• Оптимальное количество холодильников первой модели: x_1 = 45.
• Оптимальное количество холодильников второй модели: x_2 = 15.
• Максимальная прибыль: Z = 1575.

Экономическая интерпретация:

Для достижения максимальной прибыли предприятие должно производить 45 холодильников первой модели и 15 холодильников второй модели. При этом ресурсы будут использованы следующим образом:

• Элементы вида I: 45 + 5 \cdot 15 = 120 (остаток: 205 - 120 = 85).
• Элементы вида II: 4 \cdot 45 + 3 \cdot 15 = 225 (остаток: 0).