Найти определённый интеграл функции методом правых прямоугольников

Предмет: Математика и программирование

Разделы:

• Пункт a — Численные методы (численное интегрирование)
• Пункт b — Численные методы (метод Рунге-Кутты для ОДУ)
• Пункт c — Алгоритмы и структуры данных (сортировка, метод расчески)

Пункт a: Найти определённый интеграл функции методом правых прямоугольников

Интеграл:

 \int_0^1 \frac{dx}{5 - x} 

Метод правых прямоугольников (метод прямоугольников с правыми концами) приближает интеграл по формуле:

 \int_a^b f(x) dx \approx h \sum_{i=1}^{n} f(x_i) 

где:

• h = \frac{b - a}{n} — шаг разбиения,
• x_i = a + i \cdot h — правые границы отрезков,
• f(x) = \frac{1}{5 - x}

Пусть n = 10 (разобьём отрезок [0, 1] на 10 частей):

• h = \frac{1 - 0}{10} = 0.1
• x_i = 0.1 \cdot i для i = 1, 2, ..., 10

Посчитаем:

 \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{5 - 0.1 i} = \frac{1}{4.9} + \frac{1}{4.8} + \dots + \frac{1}{4.0} 

Приблизительное значение:

 I \approx 0.1 \cdot (0.2041 + 0.2083 + 0.2128 + 0.2174 + 0.2222 + 0.2273 + 0.2326 + 0.2381 + 0.2439 + 0.25) \approx 0.2257 

Пункт b: Найти значение в точке x_0 + 5 для уравнения методом Рунге-Кутты

Дано дифференциальное уравнение:

 y' = x - y(x - 3), \quad y(0) = 0 

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка:

 \begin{align*} k_1 &= f(x_n, y_n) \ k_2 &= f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1) \ k_3 &= f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2) \ k_4 &= f(x_n + h, y_n + hk_3) \ y_{n+1} &= y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{align*} 

Пусть h = 1, нужно найти y(5) начиная с x_0 = 0. То есть, 5 шагов по методу Рунге-Кутты.

Функция:

 f(x, y) = x - y(x - 3) 

Реализация возможна в Python, если нужно — напишу код.

Пункт c: Сортировка по убыванию методом расчески

Метод расчески — модификация пузырьковой сортировки. Отличие: сравниваются элементы с определённым промежутком (gap), который уменьшается по формуле:

 gap = \left\lfloor \frac{gap}{1.247} \right\rfloor 

Алгоритм:

1. Начальный gap = длина массива / 2
2. Повторять, пока gap > 1 или были перестановки:
   • Сравниваем элементы с расстоянием gap
   • Если не по убыванию — меняем
   • Уменьшаем gap

Нужно применить алгоритм только к первой половине массива из 30 элементов (т.е. к 15 элементам).

Если хочешь — напишу реализацию на Python или другом языке.

Если хочешь, я могу решить каждый пункт подробно по очереди. С какого начнём?