Найти минимум функции цели при выполнении следующих ограничений

Предмет: Математика

Раздел: Линейное программирование

Условие задачи:

Найти минимум функции цели: \[ Z(X) = 6x_1 + 2x_2 \rightarrow \min, \] при выполнении следующих ограничений: \[ -3x_1 + x_2 \leq 3, \] \[ -x_1 + x_2 \geq 1, \] \[ 3x_1 + x_2 \geq 9, \] \[ x_1 + x_2 \leq 11. \]

Решение:

1. Преобразуем ограничения:

Для удобства записываем их в стандартной форме:

1. \(-3x_1 + x_2 \leq 3\): оставляем без изменений.
2. \-x_1 + x_2 \geq 1: умножим на \(-1\), меняя знак неравенства: \[ x_1 - x_2 \leq -1. \]
3. \[ 3x_1 + x_2 \geq 9:\] преобразуем: \[ -3x_1 - x_2 \leq -9. \]
4. \[ x_1 + x_2 \leq 11: \] оставляем без изменений.

Теперь ограничения имеют вид: \[ -3x_1 + x_2 \leq 3, \] \[ x_1 - x_2 \leq -1, \] \[ -3x_1 - x_2 \leq -9, \] \[ x_1 + x_2 \leq 11. \]

2. Графическое решение.

Найдём область допустимых решений и точку минимума функции цели \[Z = 6x_1 + 2x_2\].

а) Изобразим ограничения на плоскости:

Каждое неравенство ограничивает область плоскости. Построим соответствующие прямые:

1. Для \[-3x_1 + x_2 = 3:\]
   При \(x_1 = 0\): x_2 = 3.
   При x_2 = 0: \(x_1 = -1.\)
   Это прямая, соединяющая точки (-1, 0) и (0, 3).
2. Для \[x_1 - x_2 = -1:\]
   При \(x_1 = 0\): x_2 = 1.
   При x_2 = 0: \(x_1 = -1.\)
   Это прямая, соединяющая точки (-1, 0) и (0, 1).
3. Для \[-3x_1 - x_2 = -9:\]
   При \(x_1 = 0\): x_2 = 9.
   При \(x_2 = 0\): x_1 = 3.
   Это прямая, соединяющая точки (3, 0) и (0, 9).
4. Для \[x_1 + x_2 = 11:\]
   При \(x_1 = 0\): x_2 = 11.
   При \(x_2 = 0\): x_1 = 11.
   Это прямая, соединяющая точки (11, 0) и (0, 11).

б) Закрашивание областей:

3. Вершины области допустимых решений:

Область допустимых решений — это выпуклый многоугольник. Найдём координаты всех вершин методом пересечения прямых.

1. Пересечение \[-3x_1 + x_2 = 3\] и \[x_1 - x_2 = -1:\]
   Решаем систему: \[ \begin{cases} -3x_1 + x_2 = 3, \\ x_1 - x_2 = -1. \end{cases} \] Подставим \[x_2 = 3x_1 + 3\] из первого уравнения во второе:
   \[x_1 - (3x_1 + 3) = -1 \implies -2x_1 = 2 \implies x_1 = -1.\]
   Тогда \(x_2 = 3(-1) + 3 = 0.\)
   Вершина: (-1, 0).
2. Пересечение \[-3x_1 + x_2 = 3\] и \[-3x_1 - x_2 = -9:\]
   Решаем систему: \[ \begin{cases} -3x_1 + x_2 = 3, \\ -3x_1 - x_2 = -9. \end{cases} \] Складываем уравнения: \[-6x_1 = -6 \implies x_1 = 1.\]
   Подставим \[x_1 = 1\] в первое уравнение: \[-3(1) + x_2 = 3 \implies x_2 = 6.\]
   Вершина: (1, 6).
3. Пересечение \[-3x_1 - x_2 = -9\] и \[x_1 + x_2 = 11:\]
   Решаем систему: \[ \begin{cases} -3x_1 - x_2 = -9, \\ x_1 + x_2 = 11. \end{cases} \] Складываем уравнения: \[-2x_1 = 2 \implies x_1 = -1.\]

Закрасим области, соответствующие каждому неравенству, и найдём пересечение всех областей.