Найти минимальное значение функции

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (оптимизация)

Нам дана задача линейного программирования: найти минимальное значение функции

F = x_1 - 3x_2

при следующих ограничениях:

 \begin{cases} x_1 + 2x_2 \leq 4, \ x_1 \geq 0, \ x_2 \geq 0. \end{cases} 

Шаг 1: Построим область допустимых решений

Ограничения задают область на координатной плоскости:

1. x_1 + 2x_2 \leq 4 — прямая, ниже которой лежит допустимая область.
2. x_1 \geq 0 — правая полуплоскость.
3. x_2 \geq 0 — верхняя полуплоскость.

Таким образом, допустимая область — это треугольник, ограниченный осями и прямой x_1 + 2x_2 = 4.

Шаг 2: Найдём вершины допустимой области

Рассмотрим пересечения:

1. Пересечение с осью x_1 (при x_2 = 0):

x_1 + 2(0) = 4 \Rightarrow x_1 = 4
Точка: (4, 0)

2. Пересечение с осью x_2 (при x_1 = 0):

0 + 2x_2 = 4 \Rightarrow x_2 = 2
Точка: (0, 2)

3. Пересечение осей: (0, 0)

Таким образом, вершины области:
(0, 0), (4, 0), (0, 2)

Шаг 3: Вычислим значение функции F = x_1 - 3x_2 в этих точках

1. В точке (0, 0):
   F = 0 - 3 \cdot 0 = 0

2. В точке (4, 0):
   F = 4 - 3 \cdot 0 = 4

3. В точке (0, 2):
   F = 0 - 3 \cdot 2 = -6

Ответ:

Минимальное значение функции — в точке (0, 2) и равно:

\boxed{-6}