Найти максимум функции при ограничениях

Предмет: Математика

Раздел: Линейное программирование

Задание: Найти максимум функции f = 6x₁ + 2x₂ при ограничениях:

• -2x₁ + 3x₂ ≤ 0
• x₁ ≤ 5
• x₁, x₂ ≥ 0

Решение графическим методом:

1. Построение областей допустимых решений на плоскости x₁, x₂.

Для ограничения -2x₁ + 3x₂ ≤ 0, построим линию. Найдем пересечения с осями координат:

• При x₁ = 0: 3x₂ = 0 → x₂ = 0
• При x₂ = 0: -2x₁ = 0 → x₁ = 0

Линия проходит через точку (0, 0) (но не строится, так как x₁ и x₂ положительны), наклон линии положительный.

Для x₁ ≤ 5:

• Это вертикальная линия, пересекающая ось x₁ в точке (5, 0).

Ограничения x₁ ≥ 0 и x₂ ≥ 0 задают первую четверть координатной плоскости.

2. Графическое отображение области допустимых решений.

Область решений находится в первом квадранте, ограниченной линиями -2x₁ + 3x₂ = 0 и x₁ = 5.

3. Определение координат угловых точек области допустимых решений.

• Точка (0, 0): пересечение всех ограничений (разрешено).
• Точка (5, 0): пересечение x₁ = 5 и x₂ = 0.
• Решение уравнения -2x₁ + 3x₂ = 0 и x₁ = 5:

Подставим x₁ = 5 в -2x₁ + 3x₂ = 0: -2(5) + 3x₂ = 0 → 3x₂ = 10 → x₂ = 10/3. Точка: (5, 10/3).

4. Вычисление значений функции в угловых точках.

• В точке (0, 0): f = 6(0) + 2(0) = 0.
• В точке (5, 0): f = 6(5) + 2(0) = 30.
• В точке (5, 10/3): f = 6(5) + 2(10/3) = 30 + 20/3 = 90/3 + 20/3 = 110/3 ≈ 36.67.

5. Максимальное значение функции.

Максимум функции достигается в точке (5, 10/3), где f ≈ 36.67.

Ответ:

Максимум функции f составляет 36.67 и достигается в точке (5, 10/3).