Найти максимум функции

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математическое программирование
Раздел: Нелинейное программирование

Формулировка задачи:

Найти максимум функции
 f(x_1, x_2) = 2x_1^2 + 8x_2^2 
при следующих ограничениях:
 \begin{cases} 2x_1 + x_2 \geq 2, \ x_2 \leq 3, \ 4x_1 + 3x_2 \leq 12, \ x_1, x_2 \geq 0. \end{cases} 

Решение:

1. Определение области допустимых решений:

   • Построим область, удовлетворяющую ограничениям.
   • Решим систему неравенств графически или аналитически.

2. Определение оптимального решения:

   • Используем метод Лагранжа или метод Куна-Таккера.
   • Можно также применить численные методы оптимизации, например, метод градиентного спуска.

3. Проверка условий Куна-Таккера:

   • Найдём стационарные точки.
   • Проверим выполнение условий на градиенты.

Решение методом Куна-Таккера:

Функция Лагранжа:  L(x_1, x_2, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4, \lambda_5) = 2x_1^2 + 8x_2^2 + \lambda_1(2x_1 + x_2 - 2) + \lambda_2(3 - x_2) + \lambda_3(12 - 4x_1 - 3x_2) + \lambda_4(-x_1) + \lambda_5(-x_2) 

Далее необходимо решить систему уравнений, полученных из условий Куна-Таккера.

Итог:

Полное аналитическое решение требует подстановок и проверки условий. Если нужен численный ответ, можно воспользоваться методами оптимизации в Python (например, scipy.optimize).