Найти максимум целевой функции

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (оптимизация)

Нам дано следующее задание: найти максимум целевой функции:

Х_1 + Х_2 → \max
при условиях:

3Х_1 + 2Х_2 \leq 5
Х_2 \leq 2
Х_2 \geq 1
Х_1 \geq 0
Х_2 \geq 0

Шаг 1: Область допустимых решений

Построим график ограничений на координатной плоскости (ось X — Х_1, ось Y — Х_2):

1. 3Х_1 + 2Х_2 \leq 5
   Преобразуем в равенство:
   3Х_1 + 2Х_2 = 5
   Найдём пересечения с осями:

   • Если Х_1 = 0, то 2Х_2 = 5 \Rightarrow Х_2 = 2.5
   • Если Х_2 = 0, то 3Х_1 = 5 \Rightarrow Х_1 = \frac{5}{3}

2. Х_2 \leq 2 — горизонтальная прямая на уровне 2.

3. Х_2 \geq 1 — горизонтальная прямая на уровне 1.

4. Х_1 \geq 0 — правая полуплоскость.

5. Х_2 \geq 0 — верхняя полуплоскость.

Шаг 2: Найдём вершины области допустимых решений

Область ограничена пересечением всех неравенств. Найдём точки пересечения границ:

1. Пересечение 3Х_1 + 2Х_2 = 5 и Х_2 = 1:
   Подставим:
   3Х_1 + 2(1) = 5 \Rightarrow 3Х_1 = 3 \Rightarrow Х_1 = 1
   Точка: (1, 1)

2. Пересечение 3Х_1 + 2Х_2 = 5 и Х_2 = 2:
   3Х_1 + 2(2) = 5 \Rightarrow 3Х_1 = 1 \Rightarrow Х_1 = \frac{1}{3}
   Точка: (\frac{1}{3}, 2)

3. Пересечение Х_1 = 0 и Х_2 = 1:
   Точка: (0, 1)

4. Пересечение Х_1 = 0 и Х_2 = 2:
   Точка: (0, 2)

Шаг 3: Вычислим значение целевой функции в вершинах

Целевая функция: Х_1 + Х_2

Шаг 4: Ответ

Максимальное значение целевой функции достигается в точке:
(\frac{1}{3}, 2)
Значение: \frac{7}{3}

Ответ:
Максимум функции Х_1 + Х_2 равен \frac{7}{3} при Х_1 = \frac{1}{3}, Х_2 = 2.