Найти максимум целевой функции

Условие:

Х1+х2 мах 3х1+2х2 <=5 Х2<=2 Х2>=1 Х1>=0 Х2>=0

Решение:

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (оптимизация)


Нам дано следующее задание: найти максимум целевой функции:

Х_1 + Х_2 → \max
при условиях:

3Х_1 + 2Х_2 \leq 5
Х_2 \leq 2
Х_2 \geq 1
Х_1 \geq 0
Х_2 \geq 0


Шаг 1: Область допустимых решений

Построим график ограничений на координатной плоскости (ось X — Х_1, ось Y — Х_2):

  1. 3Х_1 + 2Х_2 \leq 5
    Преобразуем в равенство:
    3Х_1 + 2Х_2 = 5
    Найдём пересечения с осями:

    • Если Х_1 = 0, то 2Х_2 = 5 \Rightarrow Х_2 = 2.5
    • Если Х_2 = 0, то 3Х_1 = 5 \Rightarrow Х_1 = \frac{5}{3}
  2. Х_2 \leq 2 — горизонтальная прямая на уровне 2.

  3. Х_2 \geq 1 — горизонтальная прямая на уровне 1.

  4. Х_1 \geq 0 — правая полуплоскость.

  5. Х_2 \geq 0 — верхняя полуплоскость.


Шаг 2: Найдём вершины области допустимых решений

Область ограничена пересечением всех неравенств. Найдём точки пересечения границ:

  1. Пересечение 3Х_1 + 2Х_2 = 5 и Х_2 = 1:
    Подставим:
    3Х_1 + 2(1) = 5 \Rightarrow 3Х_1 = 3 \Rightarrow Х_1 = 1
    Точка: (1, 1)

  2. Пересечение 3Х_1 + 2Х_2 = 5 и Х_2 = 2:
    3Х_1 + 2(2) = 5 \Rightarrow 3Х_1 = 1 \Rightarrow Х_1 = \frac{1}{3}
    Точка: (\frac{1}{3}, 2)

  3. Пересечение Х_1 = 0 и Х_2 = 1:
    Точка: (0, 1)

  4. Пересечение Х_1 = 0 и Х_2 = 2:
    Точка: (0, 2)


Шаг 3: Вычислим значение целевой функции в вершинах

Целевая функция: Х_1 + Х_2

ТочкаЗначение Х_1 + Х_2
(1, 1)1 + 1 = 2
(\frac{1}{3}, 2)\frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}
(0, 1)0 + 1 = 1
(0, 2)0 + 2 = 2

Шаг 4: Ответ

Максимальное значение целевой функции достигается в точке:
(\frac{1}{3}, 2)
Значение: \frac{7}{3}


Ответ:
Максимум функции Х_1 + Х_2 равен \frac{7}{3} при Х_1 = \frac{1}{3}, Х_2 = 2.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн