Найти максимальное значение линейной функции на заданной области допустимых решений, которая изображена на графике

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (оптимизация)

Задание:
Найти максимальное значение линейной функции
F(x_1, x_2) = 2x_1 - 2x_2
на заданной области допустимых решений, которая изображена на графике.

Шаг 1: Определим вершины области допустимых решений

По графику видно, что область ограничена следующими линиями:

• Вертикальная прямая: x_1 = 0
• Горизонтальная прямая: x_2 = 0
• Горизонтальная прямая: x_2 = 4
• Вертикальная прямая: x_1 = 6
• Наклонная прямая, проходящая через точки (3, 4) и (6, 0)

Найдем уравнение наклонной прямой:

Две точки:
(x_1, x_2) = (3, 4) и (6, 0)

Найдем угловой коэффициент: k = \frac{0 - 4}{6 - 3} = \frac{-4}{3}

Теперь уравнение прямой: x_2 - 4 = -\frac{4}{3}(x_1 - 3)
Преобразуем: x_2 = -\frac{4}{3}x_1 + 4 + 4 = -\frac{4}{3}x_1 + 8

Шаг 2: Найдем координаты вершин области

Вершины (по графику и уравнениям):

1. A = (0, 0)
2. B = (0, 4)
3. C = (3, 4)
4. D = (6, 0)

Шаг 3: Вычислим значение функции F(x_1, x_2) = 2x_1 - 2x_2 в вершинах

1. В точке A = (0, 0):
   F = 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0

2. В точке B = (0, 4):
   F = 2 \cdot 0 - 2 \cdot 4 = -8

3. В точке C = (3, 4):
   F = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = 6 - 8 = -2

4. В точке D = (6, 0):
   F = 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0 = 12

Ответ:

Максимальное значение функции достигается в точке (6, 0) и равно
\boxed{12}