Найти максимальное значение линейной функции

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (оптимизация линейных функций при линейных ограничениях)

Условие задачи:

Нам дана область допустимых решений задачи линейного программирования (на графике), и требуется найти максимальное значение линейной функции:

F(x_1, x_2) = 3x_1 + 5x_2

Шаг 1: Определим вершины области допустимых решений

По графику видно, что область ограничена линиями и осями. Найдём координаты вершин многоугольника:

• A: (0, 0)
• B: (0, 4)
• C: (3, 4)
• D: (6, 0)

(точка D — это пересечение линии, идущей из точки C под углом, с осью x₁)

Шаг 2: Подставим координаты вершин в целевую функцию

Вычислим значение функции F(x_1, x_2) = 3x_1 + 5x_2 в каждой вершине:

1. В точке A(0, 0):
   F = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = 0
2. В точке B(0, 4):
   F = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 4 = 20
3. В точке C(3, 4):
   F = 3 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 9 + 20 = 29
4. В точке D(6, 0):
   F = 3 \cdot 6 + 5 \cdot 0 = 18

Шаг 3: Найдём максимальное значение

Максимальное значение среди найденных:

\max(0, 20, 29, 18) = 29

Ответ:

\boxed{29}