Найти максимальное значение целевой функции при заданных ограничениях

Это задание по линейному программированию, раздел "поиск оптимального решения задачи". Необходимо найти максимальное значение целевой функции при заданных ограничениях.

Рассмотрим пример \( WS1 \):

Условие задачи:

1. Ограничения: \[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 \leq 16 \\ x_1 + x_2 \leq 10 \\ x_2 \leq 6 \\ x_1 \leq 7 \end{cases} \]
2. Неотрицательность: \[ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \]
3. Целевая функция (L): \[ L(x) = 3x_1 + 4x_2 \rightarrow \max \]

Решение:

1. Найдём пересечения всех ограничений, чтобы получить область допустимых решений.
   • Из первого ограничения: \[ 2x_1 + x_2 = 16 \quad \text{или} \quad x_2 = 16 - 2x_1 \]
   • Из второго ограничения: \[ x_1 + x_2 = 10 \quad \text{или} \quad x_2 = 10 - x_1 \]
   • Третье ограничение: \[ x_2 \leq 6 \]
   • Четвёртое ограничение: \[ x_1 \leq 7 \]
   Теперь проверим пересечения этих неравенств в положительной части координатной плоскости, где \( x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \).
2. Для каждого углового решения (точек пересечения ограничения), подставляем значения в целевую функцию \( L(x_1, x_2) = 3x_1 + 4x_2 \) и найдём, в какой точке она достигает максимальной величины.
3. Подставляем значения координат угловых точек (пересечения ограничений) в целевую функцию и выбираем ту точку, при которой функция принимает максимальное значение.

Задача \( WS2 \):

Подобный подход требуется для задачи \( WS2 \), где нужно найти максимум целевой функции при других ограничениях.

Условие:

1. Ограничения: \[ \begin{cases} 3x_1 + 2x_2 \leq 60 \\ x_1 + 2x_2 \leq 40 \\ x_1 + 3x_2 \leq 90 \end{cases} \]
2. Неотрицательность: \( x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \)
3. Целевая функция: \[ L(x) = 5x_1 + 8x_2 \rightarrow \max \]

Решение:

Решение аналогично задачам линейного программирования на поиск максимума целевой функции с системой линейных неравенств — также находим пересечения, угловые решения и подставляем в целевую функцию.