Найти максимальное значение целевой функции при заданных ограничениях

Условие:

Линейные

Решение:

Это задание по линейному программированию, раздел "поиск оптимального решения задачи". Необходимо найти максимальное значение целевой функции при заданных ограничениях. ### Рассмотрим пример \( WS1 \): #### Условие задачи: 1. **Ограничения:** \[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 \leq 16 \\ x_1 + x_2 \leq 10 \\ x_2 \leq 6 \\ x_1 \leq 7 \end{cases} \] 2. **Неотрицательность:** \[ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \] 3. **Целевая функция (L):** \[ L(x) = 3x_1 + 4x_2 \rightarrow \max \] #### Решение: 1. Найдём пересечения всех ограничений, чтобы получить область допустимых решений. - Из первого ограничения: \[ 2x_1 + x_2 = 16 \quad \text{или} \quad x_2 = 16 - 2x_1 \] - Из второго ограничения: \[ x_1 + x_2 = 10 \quad \text{или} \quad x_2 = 10 - x_1 \] - Третье ограничение: \[ x_2 \leq 6 \] - Четвёртое ограничение: \[ x_1 \leq 7 \] Теперь проверим пересечения этих неравенств в положительной части координатной плоскости, где \( x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \). 2. Для каждого углового решения (точек пересечения ограничения), подставляем значения в целевую функцию \( L(x_1, x_2) = 3x_1 + 4x_2 \) и найдём, в какой точке она достигает максимальной величины. 3. Подставляем значения координат угловых точек (пересечения ограничений) в целевую функцию и выбираем ту точку, при которой функция принимает максимальное значение. ### Задача \( WS2 \): Подобный подход требуется для задачи \( WS2 \), где нужно найти максимум целевой функции при других ограничениях. #### Условие: 1. **Ограничения:** \[ \begin{cases} 3x_1 + 2x_2 \leq 60 \\ x_1 + 2x_2 \leq 40 \\ x_1 + 3x_2 \leq 90 \end{cases} \] 2. **Неотрицательность:** \( x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \) 3. **Целевая функция:** \[ L(x) = 5x_1 + 8x_2 \rightarrow \max \] #### Решение: Решение аналогично задачам линейного программирования на поиск максимума целевой функции с системой линейных неравенств — также находим пересечения, угловые решения и подставляем в целевую функцию.