Найти максимальное значение целевой функции при ограничениях

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (оптимизация)

Задание: Найти максимальное значение целевой функции
F = x_1 + 5x_2
при следующих ограничениях:

 \begin{cases} x_1 + x_2 \leq 6 \ x_1 \leq 4 \ x_1 \geq 0 \ x_2 \geq 0 \end{cases} 

Шаг 1: Построим область допустимых решений

Ограничения задают многоугольник на координатной плоскости:

1. x_1 + x_2 \leq 6 — прямая с точками пересечения осей (6,0) и (0,6)
2. x_1 \leq 4 — вертикальная прямая через x = 4
3. x_1 \geq 0 и x_2 \geq 0 — ограничение первой четвертью

Шаг 2: Найдём вершины области допустимых решений

Пересечения ограничений:

1. (0, 0) — пересечение осей
2. (0, 6) — пересечение x_1 = 0 и x_1 + x_2 = 6
3. (4, 2) — пересечение x_1 = 4 и x_1 + x_2 = 6
4. (4, 0) — пересечение x_1 = 4 и x_2 = 0

Шаг 3: Подставим вершины в целевую функцию

Вычислим значение функции F = x_1 + 5x_2 в каждой вершине:

• В точке (0, 0):
  F = 0 + 5 \cdot 0 = 0

• В точке (0, 6):
  F = 0 + 5 \cdot 6 = 30

• В точке (4, 2):
  F = 4 + 5 \cdot 2 = 4 + 10 = 14

• В точке (4, 0):
  F = 4 + 5 \cdot 0 = 4

Ответ:

Максимальное значение целевой функции — 30, достигается в точке (0, 6).

✅ Правильный ответ: d. 30