Найти максимальное значение целевой функции

Условие:

Z(X) = 8X1+X2 →MAX X1+X2 < 8 –2X1+4X2 > 16 X1+2X2 > 12 X1, X2 > 0

Решение:

### Предмет: Математика ### Раздел: Линейное программирование Это задача линейного программирования, в которой требуется найти максимальное значение целевой функции \( Z(X) = 8X_1 + X_2 \), при заданных ограничениях. ### Задание: 1. Целевая функция: \( Z(X) = 8X_1 + X_2 \) → MAX. 2. Ограничения: \[ \begin{cases} X_1 + X_2 \leqslant 8 \\ -2X_1 + 4X_2 \geqslant 16 \\ X_1 + 2X_2 \geqslant 12 \\ X_1, X_2 \geqslant 0 \end{cases} \] ### Шаг 1: Приведение всех ограничений к стандартному виду Для решения задачи нам сначала нужно переписать систему ограничений, если она не в стандартном виде. \[ X_1 + X_2 \leqslant 8 \] Ограничение уже в правильной форме. Перепишем второе ограничение так, чтобы оно стало менее или равно: \[ -2X_1 + 4X_2 \geqslant 16 \quad \Rightarrow \quad 2X_1 - 4X_2 \leqslant -16. \] Теперь третье ограничение: \[ X_1 + 2X_2 \geqslant 12 \quad \Rightarrow \quad X_1 + 2X_2 \geqslant 12. \] ### Шаг 2: Построение системы ограничений Теперь можно отложить каждое ограничение на плоскости с \( X_1 \) по оси абсцисс и \( X_2 \) по оси ординат. 1. **Ограничение 1:** \( X_1 + X_2 \leqslant 8 \). Граничная прямая: \( X_2 = 8 - X_1 \). Это прямая, которая проходит через точки (0, 8) и (8, 0). Разрешённая область – та часть плоскости, которая лежит ниже линии. 2. **Ограничение 2:** \( 2X_1 - 4X_2 \leqslant -16 \). Граничная прямая: \( X_1 = 2X_2 - 8 \). Перепишем как \( X_2 = 0.5X_1 + 4 \). Это прямая проходит через точку (0, 4) и будет расти с коэффициентом 0.5. 3. **Ограничение 3:** \( X_1 + 2X_2 \geqslant 12 \). Граничная прямая: \( X_2 = 6 - 0.5X_1 \). Это прямая пересекает оси в точках (12, 0) и (0, 6). ### Шаг 3: Определение области допустимых решений Графически, строим данные прямые и находим пересечение всех ограниченных областей. 1. Пересечение \( X_1 + X_2 = 8 \) и \( 2X_1 - 4X_2 = -16 \). 2. Проверка.