Найти максимальное значение целевой функции

Предмет: Математика

Раздел: Линейное программирование

Это задача линейного программирования, в которой требуется найти максимальное значение целевой функции \( Z(X) = 8X_1 + X_2 \), при заданных ограничениях.

Задание:

1. Целевая функция: \( Z(X) = 8X_1 + X_2 \) → MAX.
2. Ограничения: \[ \begin{cases} X_1 + X_2 \leqslant 8 \\ -2X_1 + 4X_2 \geqslant 16 \\ X_1 + 2X_2 \geqslant 12 \\ X_1, X_2 \geqslant 0 \end{cases} \]

Шаг 1: Приведение всех ограничений к стандартному виду

Для решения задачи нам сначала нужно переписать систему ограничений, если она не в стандартном виде.

\[ X_1 + X_2 \leqslant 8 \]

Ограничение уже в правильной форме. Перепишем второе ограничение так, чтобы оно стало менее или равно:

\[ -2X_1 + 4X_2 \geqslant 16 \quad \Rightarrow \quad 2X_1 - 4X_2 \leqslant -16. \]

Теперь третье ограничение:

\[ X_1 + 2X_2 \geqslant 12 \quad \Rightarrow \quad X_1 + 2X_2 \geqslant 12. \]

Шаг 2: Построение системы ограничений

Теперь можно отложить каждое ограничение на плоскости с \( X_1 \) по оси абсцисс и \( X_2 \) по оси ординат.

1. Ограничение 1: \( X_1 + X_2 \leqslant 8 \). Граничная прямая: \( X_2 = 8 - X_1 \). Это прямая, которая проходит через точки (0, 8) и (8, 0). Разрешённая область – та часть плоскости, которая лежит ниже линии.
2. Ограничение 2: \( 2X_1 - 4X_2 \leqslant -16 \). Граничная прямая: \( X_1 = 2X_2 - 8 \). Перепишем как \( X_2 = 0.5X_1 + 4 \). Это прямая проходит через точку (0, 4) и будет расти с коэффициентом 0.5.
3. Ограничение 3: \( X_1 + 2X_2 \geqslant 12 \). Граничная прямая: \( X_2 = 6 - 0.5X_1 \). Это прямая пересекает оси в точках (12, 0) и (0, 6).

Шаг 3: Определение области допустимых решений

Графически, строим данные прямые и находим пересечение всех ограниченных областей.

1. Пересечение \( X_1 + X_2 = 8 \) и \( 2X_1 - 4X_2 = -16 \).
2. Проверка.