Найти экстремум функции при системе ограничений

Предмет: Математика

Раздел: Линейное программирование

Условие задачи:

Найти экстремум функции
F = x - 2y
при системе ограничений:

 \begin{cases} x - y + 1 \geq 0, \ 3y - x \geq 3, \ 2x - y \leq 2, \ x \geq 0, \ y \geq 0. \end{cases} 

Решение:

1. Преобразуем ограничения
   Преобразуем неравенства в равенства для нахождения граничных точек:

   • x - y + 1 = 0 → x = y - 1
   • 3y - x = 3 → x = 3y - 3
   • 2x - y = 2 → y = 2x - 2

2. Построение области допустимых решений

   • Графически изобразим прямые, соответствующие уравнениям.
   • Определим область, удовлетворяющую всем неравенствам.
   • Найдем вершины многоугольника решений.

3. Найдем точки пересечения ограничивающих прямых

   • Пересечение x - y + 1 = 0 и 3y - x = 3: [ x = y - 1 ] Подставляем в 3y - x = 3: [ 3y - (y - 1) = 3 ] [ 3y - y + 1 = 3 ] [ 2y = 2 \Rightarrow y = 1, \quad x = 0 ] Точка: (0,1).

   • Пересечение x - y + 1 = 0 и 2x - y = 2: [ x = y - 1 ] Подставляем в 2x - y = 2: [ 2(y - 1) - y = 2 ] [ 2y - 2 - y = 2 ] [ y - 2 = 2 \Rightarrow y = 4, \quad x = 3 ] Точка: (3,4).

   • Пересечение 3y - x = 3 и 2x - y = 2: Решаем систему: [ x = 3y - 3 ] Подставляем в 2x - y = 2: [ 2(3y - 3) - y = 2 ] [ 6y - 6 - y = 2 ] [ 5y = 8 \Rightarrow y = \frac{8}{5}, \quad x = 3 \cdot \frac{8}{5} - 3 = \frac{24}{5} - 3 = \frac{9}{5} ] Точка: \left(\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right).

4. Вычисление значения целевой функции в вершинах

   • В точке (0,1):
     [ F = 0 - 2(1) = -2 ]

   • В точке (3,4):
     [ F = 3 - 2(4) = 3 - 8 = -5 ]

   • В точке \left(\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right):
     [ F = \frac{9}{5} - 2 \cdot \frac{8}{5} = \frac{9}{5} - \frac{16}{5} = -\frac{7}{5} ]

5. Вывод

   • Максимальное значение: -\frac{7}{5} в точке \left(\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right).
   • Минимальное значение: -5 в точке (3,4).

Ответ:
Максимум F = -\frac{7}{5} в точке \left(\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right).
Минимум F = -5 в точке (3,4).