Найдите оптимальные решения прямой и двойственной задачи из симплекс-таблицы

Предмет: Математика
Раздел: Линейное программирование (Симплекс-метод, двойственная задача)

Условие задачи:

Задана задача линейного программирования (ЗЛП) в канонической форме:

F = x_1 - x_2 \rightarrow \max

с ограничениями:

 \begin{cases} -2x_1 + x_2 \leq 2 \ x_1 - 2x_2 \leq 2 \ x_1 + x_2 \leq 5 \ x_j \geq 0, \quad j = 1, 2 \end{cases} 

Шаг 1: Прямая задача

Из симплекс-таблицы видно, что базисные переменные: x_3, x_1, x_2. Значения:

 x_1 = 4, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 0 

Остальные переменные, не входящие в базис, равны нулю:

x_4 = x_5 = 0

Итак, оптимальное решение прямой задачи:

 x_1 = 4, \quad x_2 = 1, \quad F = Z = 3 

Шаг 2: Двойственная задача

Для двойственной задачи переменные y_1, y_2, y_3 соответствуют ограничениям прямой задачи. Их значения можно найти по строке \Delta_j = Z_j - c_j, используя коэффициенты при искусственных переменных (вспомогательных переменных x_3, x_4, x_5).

Из таблицы:

• Столбец x_3: коэффициенты в базисе — 0, 1, -1
• Столбец x_4: коэффициенты — 1, 2/3, 1/3
• Столбец x_5: коэффициенты — 1, 2, 4

И соответствующие значения двойственных переменных:

 \begin{cases} y_1 = 1 \ y_2 = 2/3 \ y_3 = 1/3 \end{cases} 

Ответ:

Оптимальное решение прямой задачи:

 x_1 = 4, \quad x_2 = 1, \quad F = Z = 3 

Оптимальное решение двойственной задачи:

 y_1 = 1, \quad y_2 = \frac{2}{3}, \quad y_3 = \frac{1}{3}  ✅

Если нужно — могу дополнительно записать двойственную задачу явно.