Минимизировать целевую функцию при заданных ограничениях

Это задача линейного программирования, связанная с оптимизацией, не с транспортной задачей.

Требуется минимизировать целевую функцию при заданных ограничениях. Рассмотрим этапы решения.

Целевая функция:

f = 4x₁ + 6x₂ → min.

Ограничения:

1. -x₁ + 3x₂ ≤ 8
2. x₁ + x₂ ≥ 1
3. 4x₁ + x₂ ≤ 12
4. x₁, x₂ ≥ 0

Решение методом графического анализа:

1. Построим график каждой из ограничивающих прямых:

   • -x₁ + 3x₂ = 8: Преобразование в стандартный вид дает x₁ = 3x₂ - 8.
   • x₁ + x₂ = 1: Преобразование дает x₂ = 1 - x₁.
   • 4x₁ + x₂ = 12: Преобразование дает x₂ = 12 - 4x₁.
2. Построим графики на координатной плоскости.

3. Найдем область допустимых решений, которая ограничена всеми прямыми и удовлетворяет условиям x₁, x₂ ≥ 0.

4. Найдем угловые точки области. Для этого определим точки пересечения прямых:

   1. Пересечение -x₁ + 3x₂ = 8 и x₁ + x₂ = 1:

      Решая систему

      -x₁ + 3x₂ = 8

      x₁ + x₂ = 1

      Получаем x₁ = -1.5 и x₂ = 2.5.

   2. Пересечение x₁ + x₂ = 1 и 4x₁ + x₂ = 12:

      Решая систему

      x₁ + x₂ = 1

      4x₁ + x₂ = 12

      Получаем x₁ = 11/3 и x₂ = -8/3 (недопустимо, так как x₂ должен быть неотрицательным).

   3. Пересечение -x₁ + 3x₂ = 8 и 4x₁ + x₂ = 12:

      Решая систему

      -x₁ + 3x₂ = 8

      4x₁ + x₂ = 12

      Получаем x₁ = 0 и x₂ = 8/3.

5. Проверим значение целевой функции в угловых точках:

   • x₁ = 0, x₂ = 8/3: f = 4(0) + 6(8/3) = 16.
   • x₁ = 12/5, x₂ = 8/5: f = 4(12/5) + 6(8/5) = 22.4 (не дополняет задачу, пересчитываем с разрешенными точками).

Ответ:

x₁ = 0, x₂ = 8/3, f = 16.