Использовать симплекс-метод для решения задачи

Это задача линейного программирования, и мы будем использовать симплекс-метод для решения. Давайте приступим шаг за шагом.

1. Формулировка задачи:

Целевая функция: f = 4x1 - 6x2 + x3 → min
Ограничения:

1. 8x1 + 2x2 + x3 ≥ 3
2. x2 - 4x3 = -2
3. 2x1 - 3x2 + 4x3 ≤ 11
4. xj ≥ 0, j = 1, 2, 3

2. Приведение к стандартной форме:

Для симплекс-метода, все ограничения должны быть в форме равенств. Добавляем дополнительные переменные (вводимые и/или избыточные) для преобразования:

1. 8x1 + 2x2 + x3 - s1 = 3 (s1 - избыточная переменная)
2. x2 - 4x3 = -2 (уже в форме равенства)
3. 2x1 - 3x2 + 4x3 + s2 = 11 (s2 - вводимая переменная)

Теперь целевая функция и ограничения готовы.

3. Построение исходной симплекс-таблицы:

Начальная симплекс-таблица:

Базис | Cб | x1  | x2 | x3  | s1  | s2  | Свободные члены (B)
------------------------------------------------------------------------------
s1    | 0  |  8  |  2 |  1  | -1  |  0  |         3
s2    | 0  |  2  | -3 |  4  |  0  |  1  |        11
x2    | -6 |  0  |  1 | -4  |  0  |  0  |        -2
------------------------------------------------------------------------------
З     | 0  | -4  |  6 | -1  |  0  |  0  |         0
    

4. Симплекс-метод:

Наша задача — минимизировать. В строке Z ищем наибольший положительный элемент в коэффициентах целевой функции. Столбец x2 имеет наибольшее значение 6, потому он входимый.

Следующим шагом выбираем разрешающую строку. Для этого находим отношение свободных членов к элементам в столбце x2. Игнорируем строки, где элемент столбца x2 меньше или равен 0:

• Для строки s1: 3 / 2 = 1.5
• Строка s2 исключается, так как -3 (отрицательное)
• Строка x2 не может быть опорной (она выходимая для данной итерации).

Выбираем строку s1. Элемент 2 является разрешающим.

5. Преобразование таблицы:

Преобразуем строку s1 так, чтобы разрешающий элемент стал единицей:
s1' = (1/2)*s1

Быстрая проверка шагов: s1': [4 \; 1 \; 1/2 \; -1/2 \; 0 \; 1.5]

Остальные строки вычисляем с помощью операций:

• s2 = s2 - (-3)*s1'
• x2 = x2 - (1)*s1'

Теперь строим новую таблицу:

Базис | Cб | x1  | x2  | x3  | s1  | s2  | Свободные члены
------------------------------------------------------------------------------
x2    | -6 |  4  |  1  | 1/2 | -1/2 |  0  |         1.5
s2    | 0  |  8  |  0  |  5  | 3/2  |  1  |        16.5
s1    | 0  | -4  |  0  |  7  | 1/2  |  0  |        12
------------------------------------------------------------------------------
З     | 0  |  0  |  0  |  0  |  3   |  0  |         9
    

6. Проверка оптимальности:

Так как в строке Z нет положительных коэффициентов, мы достигли оптимального решения.

Ответ:

X1 = 0, X2 = 1.5, X3 = 0, f = 9.

Таким образом, минимальное значение функции достигается при X2 = 1.5.