Для производства 4-х видов продукции используется 3 вида сырья.

Пример 1:

Для производства 4-х видов продукции используется 3 вида сырья. Нормы расхода сырья (кг) запасы (кг) его ценность от реализации единицы продукции заданы таблицей.

Составить план выпуска продукции, обеспечивающий получение максимальной прибыли, используя симплексный метод.

Решение от преподавателя:

при следующих условиях-ограничений. 
Составим математическую модель. Обозначим:

х₁ – выпуск изделий вида А;

х₂ – выпуск изделий вида В;

х₃ – выпуск изделий вида С.

Запишем систему ограничений:

5x₁+10x₂+15x₃+20x₄≤150 
20x₁+15x₂+10x₃+5x₄≤170 
15x₁+9x₂+4x₃+17x₄≤190 
Определим максимальное значение целевой функции

F(X) = 6.5x₁+8x₂+14x₃+10x₄                                         

По экономическому содержанию переменные х₁, х₂, х₃ могут принимать только неотрицательные значения:

х₁, х₂, х₃ ≥0.

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). 
5x₁+10x₂+15x₃+20x₄+x₅ = 150 
20x₁+15x₂+10x₃+5x₄+x₆ = 170 
15x₁+9x₂+4x₃+17x₄+x₇ = 190 
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₅, x₆, x₇ 
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: 
X0 = (0,0,0,0,150,170,190) 

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. 
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю. 
Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3 
и из них выберем наименьшее: 
min (150 : 15 , 170 : 10 , 190 : 4 ) = 10 
Следовательно, 1-ая строка является ведущей. 
Разрешающий элемент равен (15) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. 

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x₅ в план 1 войдет переменная x₃. 
Получаем новую симплекс-таблицу: 

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю. 
Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1 
и из них выберем наименьшее: 
min (10 : 0.333 , 70 : 16.667 , 150 : 13.667 ) = 4.2 
Следовательно, 2-ая строка является ведущей. 
Разрешающий элемент равен (16.667) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. 

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x₆ в план 2 войдет переменная x₁. 
Получаем новую симплекс-таблицу: 

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план 
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. 
Окончательный вариант симплекс-таблицы: 

Оптимальный план можно записать так: 
x₁ = 4.2, x₂ = 0, x₃ = 8.6, x₄ = 0 
F(X) = 6.5•4.2 + 8•0 + 14•8.6 + 10•0 = 147.7