Решить систему линейных уравнений тремя методами методом Крамера методом обратным матрицы методом гаусса2x-y+z=23x+2y+2z=-2x-2y+z=1

Условие:

Решить систему линейных уравнений тремя методами методом Крамера методом обратным матрицы методом гаусса 2x-y+z=2 3x+2y+2z=-2 x-2y+z=1

Решение:

**Предмет**: Линейная алгебра **Раздел**: Решение систем линейных уравнений Мы имеем систему линейных уравнений: \[ \begin{cases} 2x - y + z = 2, \\ 3x + 2y + 2z = -2, \\ x - 2y + z = 1. \end{cases} \] ### 1. Метод Крамера **Шаг 1**: Выписываем матрицу коэффициентов \( A \) и столбец свободных членов \( B \). \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}. \] **Шаг 2**: Найдём основной определитель \( \text{det}(A) \). \[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}. \] Теперь вычислим каждый из 2х2 миноров: \[ \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-2) = 2 + 4 = 6, \] \[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1, \] \[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 = -6 - 2 = -8. \] Теперь подставим значения в выражение для определителя: \[ \text{det}(A) = 2 \cdot 6 - (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-8) = 12 + 1 - 8 = 5. \] **Шаг 3**: Найдём \( \text{det}(A_x) \), \( \text{det}(A_y) \), \( \text{det}(A_z) \). - Для \( A_x \), заменим первый столбец на столбец \( B \): \[ A_x = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad \text{det}(A_x) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}. \] Вычисление аналогичное вычислению основного определителя.