Приведение квадратичных форм к каноническому виду с помощью линейных преобразований

Предмет: Высшая математика (линейная алгебра).

Раздел: Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду с помощью линейных преобразований.

Задание: Найти канонический вид для квадратичной формы \( x_1x_2 - 3x_2x_3 \) и определить линейное невырожденное преобразование, которое приводит эту форму к каноническому виду.

Шаг 1: Представление квадратичной формы в матричном виде

\[ Q(x_1, x_2, x_3) = x_1 x_2 - 3 x_2 x_3 \]

\[ Q(x_1, x_2, x_3) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \]

\[ Q(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 - 3x_2x_3 \]

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}. \]

Шаг 2: Приведение матрицы к каноническому виду

Найдем характерный многочлен матрицы \(A\):

\[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -\lambda & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\lambda & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\lambda \end{pmatrix}. \]

Рассчитаем определитель (разложение по первой строке):

\[ \det(A - \lambda I) = -\lambda \det \begin{pmatrix} -\lambda & -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\lambda \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \det \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\lambda \end{pmatrix}. \]

\[ = -\lambda \left( \lambda^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}(-\lambda) \right), \]

\[ = -\lambda (\lambda^2 - \frac{9}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda}{2}, \]

\[ = -\lambda(\lambda^2 - \frac{9}{4}) + \frac{\lambda}{4}, \]

\[ = -\lambda^3 + \frac{9}{4}\lambda + \frac{\lambda}{4} = 0, \]

\[ -\lambda^3 + \frac{10}{4}\lambda = 0, \]

\[ -\lambda(\lambda^2 - \frac{5}{2}) = 0. \]

Таким образом, собственные значения:

\( \lambda_1 = 0, \lambda_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \).

Шаг 3: Канонический вид

Теперь мы можем записать канонический вид квадратичной формы:

\[ x_1 x_2 - 3 x_2 x_3 = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2, \]

где \( y_1, y_2, y_3 \) — новые переменные, полученные в результате линейного преобразования.

Ответ: Канонический вид данной квадратичной формы — это:

\[ \pm y_2^2 \mp y_3^2. \]

Точное выражение зависит от того, какое линейное преобразование было выбрано на этапе диагонализации.