Найти, при каком значении аргумента обращается в ноль функция

Предмет: Математика Раздел: Алгебра, квадратичные функции (квадратичный трёхчлен)

Условие задачи:

Дан квадратичный трёхчлен \( f(x) \). Известно, что функция \( y = f(x + 1) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 8 \). Необходимо найти, при каком значении аргумента обращается в ноль функция \( y = f(x + 3) - f(x) \).

Шаг 1: Рассмотрим общий вид квадратичного трёхчлена

Общий вид квадратичной функции: \[ f(x) = ax^2 + bx + c, \] где \( a \), \( b \) и \( c \) — некоторые числа.

Шаг 2: Найдём выражение для \( f(x + 1) - f(x) \)

Найдём \( f(x + 1) \):

\[ f(x+1) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c. \]

Теперь считаем разницу \( f(x+1) - f(x) \):

\[ f(x+1) - f(x) = (ax^2 + 2ax + a + bx + b + c) - (ax^2 + bx + c) = 2ax + a + b. \]

Итак, функция \( y = f(x+1) - f(x) = 2ax + a + b \).

Шаг 3: Подставим известное условие

Из условия задачи известно, что функция \( f(x + 1) - f(x) = 0 \) при \( x = 8 \). Подставим это значение в уравнение:

\[ 2a \cdot 8 + a + b = 0, \]

\[ 16a + a + b = 0, \]

\[ 17a + b = 0. \]

Отсюда \( b = -17a \).

Шаг 4: Найдём выражение для \( f(x + 3) - f(x) \)

Теперь найдём \( f(x + 3) \):

\[ f(x+3) = a(x + 3)^2 + b(x + 3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c = ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c. \]

Теперь считаем разность \( f(x+3) - f(x) \):

\[ f(x+3) - f(x) = (ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c) - (ax^2 + bx + c) = 6ax + 9a + 3b. \]

Подставим \( b = -17a \):

\[ f(x+3) - f(x) = 6ax + 9a + 3(-17a) = 6ax + 9a - 51a = 6ax - 42a. \]

Итак, функция \( y = f(x+3) - f(x) = 6ax - 42a \).

Шаг 5: Найдём значение \( x \), при котором \( f(x + 3) - f(x) = 0 \)

Решаем уравнение:

\[ 6ax - 42a = 0. \]

Разделим на \( 6a \) (предполагая, что \( a \neq 0 \)):

\[ x - 7 = 0, \]

\[ x = 7. \]

Ответ:

Функция \(\ f(x + 3) - f(x)\ \) обращается в ноль при \(\ x = 7\ \).