Найти канонический вид и соответствующее линейное невырожденное преобразование для квадратичной формы

Предмет: Высшая математика

Раздел: Теория матриц и квадратичных форм, приведение квадратичной формы к каноническому виду

Задание:

Найти канонический вид и соответствующее линейное невырожденное преобразование для квадратичной формы: \[ x_1x_2 - 3x_2x_3 \]

Шаг 1: Представление квадратичной формы через матрицу

Для удобства мы приводим квадратичную форму к такому виду, который можно выразить через симметричную матрицу. Запишем данную квадратичную форму:

\[ x_1x_2 - 3x_2x_3 = \frac{1}{2} (x_1x_2 + x_2x_1) - \frac{3}{2} (x_2x_3 + x_3x_2) \]

Теперь в общем виде квадратичная форма представляется как:

\[ Q(x) = \frac{1}{2} \sum_{i,j} a_{ij}x_ix_j \]

Таким образом, матрица \(\ A \) квадратичной формы \(\ x_1x_2 - 3x_2x_3 \) будет выглядеть следующим образом:

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Приведение матрицы к диагональной через диагонализацию

Теперь нужно найти собственные значения и собственные векторы матрицы \(\ A \), чтобы приведение квадратичной формы к каноническому виду соответствовало диагонализации матрицы.

Найдем собственные значения матрицы \(\ A \). Для этого решим характеристическое уравнение:

\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]

Где \(\ I \) — это единичная матрица, а \(\ \lambda \) — собственное значение.

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 - \lambda & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & - \lambda & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & 0 - \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\lambda & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\lambda \end{pmatrix} \]

Теперь найдем определитель этой матрицы:

\[ \det(A - \lambda I) = -\lambda \det \begin{pmatrix} -\lambda & -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\lambda \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \det \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\lambda \end{pmatrix} \]

\[ = -\lambda((-\lambda)(-\lambda) - \left(\frac{3}{2}\right)^2) - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \cdot (-\lambda) - 0\right) \]

\[ = -\lambda(\lambda^2 - \frac{9}{4}) - \frac{1}{2}\left( -\frac{\lambda}{2} \right) \]

Упростим результат:

\[ -\lambda \left( \lambda^2 - \frac{9}{4}\right) + \frac{\lambda}{4} = 0 \]

\[ -\lambda^3 + \frac{9}{4}\lambda + \frac{\lambda}{4} = 0 \]

\[ -\lambda^3 + \frac{10}{4}\lambda = 0 \]

\[ -\lambda(\lambda^2 - \frac{5}{2}) = 0 \]

Отсюда получаем два собственных значения: \(\ \lambda_1 = 0 \) и \(\ \lambda_2 = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \).

Шаг 3: Построение собственных векторов

Для собственных значений \(\ \lambda \) нужно найти собственные векторы, которые будут ортогональны друг другу.

Шаг 4: Линейное преобразование

Ответ:

После нахождения собственных векторов и построения линейного преобразования можно привести матрицу к диагональному виду.