Определение предмета и раздела: Это задание относится к вычислительной математике, а точнее, к разделу корректности и обусловленности вычислительных задач и алгоритмов. Задается вопрос о вычислении относительного числа обусловленности функции, а также анализируется поведение гиперболической котангенс функции (cth) при .
Детали условий задачи:
Необходимо вычислить относительное число обусловленности для функции при .
Функция — это гиперболический котангенс, который определён как отношение гиперболического косинуса к гиперболическому синусу:
Шаг 1: Проанализируем поведение функции при
Исходная формула для гиперболической котангенс cth(x) может быть представлена как:
Это можно упростить через гиперболические функции:
Теперь, подставим :
Отсюда видно, что функция гиперболической котангенс стремится к бесконечности, так как знаменатель обращается в ноль. Значит, .
Шаг 2: Число обусловленности
Число обусловленности функции по аргументу можно найти через производные. Определение относительного числа обусловленности для функции :
Вычислим производную функции . Воспользуемся следующей известной формулой для производной гиперболической котангенс:
где — гиперболический косеканс. Значит,
Теперь для , заметим, что , и следовательно, . Подставив это в выражение для числа обусловленности:
Вывод: Функция при ведет себя как , что приводит к неопределенности и большим значениям числа обусловленности. Это свидетельствует о том, что задача при вычислении функции в точке или около неё некорректна с точки зрения численных методов и имеет плохую обусловленность.