Вычислить относительное число обусловленности для функции

Определение предмета и раздела: Это задание относится к вычислительной математике, а точнее, к разделу корректности и обусловленности вычислительных задач и алгоритмов. Задается вопрос о вычислении относительного числа обусловленности функции, а также анализируется поведение гиперболической котангенс функции (cth) при $\text{(}x=0\text{)}$.

Детали условий задачи:

Необходимо вычислить относительное число обусловленности для функции $\text{(}y=\text{cth}x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\text{)}$ при $\text{(}x=0\text{)}$.

Функция $\text{(}\text{cth}(x)\text{)}$ — это гиперболический котангенс, который определён как отношение гиперболического косинуса к гиперболическому синусу:

$\text{[}\text{cth}(x)=\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}.\text{]}$

Шаг 1: Проанализируем поведение функции при $\text{(}x=0\text{)}$

Исходная формула для гиперболической котангенс cth(x) может быть представлена как:

$\text{[}\text{cth}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\text{]}$

Это можно упростить через гиперболические функции:

$\text{[}\text{cth}(x)=\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}.\text{]}$

Теперь, подставим $\text{(}x=0\text{)}$:

$\text{[}\cosh (0)=\frac{e^0+e^0}{2}=1,\text{]}$

$\text{[}\sinh (0)=\frac{e^0-e^0}{2}=0.\text{]}$

Отсюда видно, что функция гиперболической котангенс стремится к бесконечности, так как знаменатель обращается в ноль. Значит, $\text{(}\text{cth}(0)=\mathrm{\infty }\text{)}$.

Шаг 2: Число обусловленности

Число обусловленности функции по аргументу $\text{(}x\text{)}$ можно найти через производные. Определение относительного числа обусловленности для функции $\text{(}y=f(x)\text{)}$:

$\text{[}\kappa (x)=\left|\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\right|.\text{]}$

Вычислим производную функции $\text{(}f(x)=\text{cth}(x)\text{)}$. Воспользуемся следующей известной формулой для производной гиперболической котангенс:

$\text{[}{f}^{\prime }(x)=-{\text{csch}}^2(x),\text{]}$

где $\text{(}\text{csch}(x)=\frac{1}{\sinh (x)}\text{)}$ — гиперболический косеканс. Значит,

$\text{[}{f}^{\prime }(x)=-\frac{1}{{\sinh }^2(x)}.\text{]}$

Теперь для $\text{(}x\to 0\text{)}$, заметим, что $\text{(}\sinh (x)\to 0\text{)}$, и следовательно, $\text{(}{f}^{\prime }(x)\to -\mathrm{\infty }\text{)}$. Подставив это в выражение для числа обусловленности:

$\text{[}\kappa (0)=\left|\frac{0\cdot (-\mathrm{\infty })}{\mathrm{\infty }}\right|.\text{]}$

Вывод: Функция $\text{(}\text{cth}(x)\text{)}$ при $\text{(}x\to 0\text{)}$ ведет себя как $\text{(}\frac{1}{x}\text{)}$, что приводит к неопределенности и большим значениям числа обусловленности. Это свидетельствует о том, что задача при вычислении функции в точке $\text{(}x=0\text{)}$ или около неё некорректна с точки зрения численных методов и имеет плохую обусловленность.

Результат стремится к неопределённости. Это означает, что задача вычисления функции $\text{(}\text{cth}(x)\text{)}$ при $\text{(}x\approx 0\text{)}$ является сильно неустойчивой (плохо обусловленной).