Вычислить относительное число обусловленности для функции

Определение предмета и раздела: Это задание относится к вычислительной математике, а точнее, к разделу корректности и обусловленности вычислительных задач и алгоритмов. Задается вопрос о вычислении относительного числа обусловленности функции, а также анализируется поведение гиперболической котангенс функции (cth) при \( x = 0 \).

Детали условий задачи:

Необходимо вычислить относительное число обусловленности для функции \( y = \text{cth} \, x = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \) при \( x = 0 \).

Функция \( \text{cth}(x) \) — это гиперболический котангенс, который определён как отношение гиперболического косинуса к гиперболическому синусу:

\[\text{cth}(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}.\]

Шаг 1: Проанализируем поведение функции при \( x = 0 \)

Исходная формула для гиперболической котангенс cth(x) может быть представлена как:

\[\text{cth}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\]

Это можно упростить через гиперболические функции:

\[\text{cth}(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}.\]

Теперь, подставим \( x = 0 \):

\[\cosh(0) = \frac{e^0 + e^0}{2} = 1,\]

\[\sinh(0) = \frac{e^0 - e^0}{2} = 0.\]

Отсюда видно, что функция гиперболической котангенс стремится к бесконечности, так как знаменатель обращается в ноль. Значит, \( \text{cth}(0) = \infty \).

Шаг 2: Число обусловленности

Число обусловленности функции по аргументу \( x \) можно найти через производные. Определение относительного числа обусловленности для функции \( y = f(x) \):

\[\kappa(x) = \left| \frac{x f'(x)}{f(x)} \right|.\]

Вычислим производную функции \( f(x) = \text{cth}(x) \). Воспользуемся следующей известной формулой для производной гиперболической котангенс:

\[ f'(x) = -\text{csch}^2(x), \]

где \( \text{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} \) — гиперболический косеканс. Значит,

\[ f'(x) = -\frac{1}{\sinh^2(x)}. \]

Теперь для \( x \to 0 \), заметим, что \( \sinh(x) \to 0 \), и следовательно, \( f'(x) \to -\infty \). Подставив это в выражение для числа обусловленности:

\[\kappa(0) = \left| \frac{0 \cdot (-\infty)}{\infty} \right|.\]

Вывод: Функция \( \text{cth}(x) \) при \( x \to 0 \) ведет себя как \( \frac{1}{x} \), что приводит к неопределенности и большим значениям числа обусловленности. Это свидетельствует о том, что задача при вычислении функции в точке \( x = 0 \) или около неё некорректна с точки зрения численных методов и имеет плохую обусловленность.

Результат стремится к неопределённости. Это означает, что задача вычисления функции \( \text{cth}(x) \) при \( x \approx 0 \) является сильно неустойчивой (плохо обусловленной).