Задание состоит в проверке, являются ли функции гармоническими, и нахождении аналитической функции

Предмет: Комплексный анализ (в рамках высшей математики)

Задание состоит в проверке, являются ли функции гармоническими, и нахождении аналитической функции на основе данной гармонической функции.

Для начала проверим, является ли функция u(x, y) = 2e^x * cos(y) гармонической. Функция считается гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа, то есть: Δu = 0, где Δu = u_xx + u_yy.

Вычислим вторые производные u:

1. Первая производная u по x:
   u_x = d(2e^x * cos(y))/dx = 2e^x * cos(y)
2. Вторая производная u по x:
   u_xx = d(2e^x * cos(y))/dx = 2e^x * cos(y)
3. Первая производная u по y:
   u_y = d(2e^x * cos(y))/dy = -2e^x * sin(y)
4. Вторая производная u по y:
   u_yy = d(-2e^x * sin(y))/dy = -2e^x * cos(y)

Теперь сложим вторые производные:
Δu = u_xx + u_yy = 2e^x * cos(y) - 2e^x * cos(y) = 0.

Так как Δu = 0, функция u(x, y) является гармонической.

Поиск аналитической функции:

Так как u является гармонической, можно найти сопряженную гармоническую функцию v, такую, что w(z) = u(x,y) + iv(x,y) будет аналитической. Для этого используем условия Коши-Римана:

1. u_x = v_y:
   2e^x * cos(y) = v_y
   Следовательно, v_y = 2e^x * cos(y)
2. u_y = -v_x:
   -2e^x * sin(y) = -v_x
   Следовательно, v_x = 2e^x * sin(y)

Теперь попробуем найти v(x, y) путем интегрирования:

1. Интегрируем v_y по y:
   v_y = 2e^x * cos(y)
   v(x, y) = ∫(2e^x * cos(y)) dy = 2e^x * sin(y) + g(x), где g(x) - функция интегрирования, зависящая только от x.
2. Интегрируем v_x по x:
   v_x = 2e^x * sin(y)
   v(x, y) = ∫(2e^x * sin(y)) dx = 2e^x * sin(y) + h(y), где h(y) - функция интегрирования, зависящая только от y.

Поскольку оба подхода дают одинаковую частную производную v(x, y), приходим к выводу, что g(x) и h(y) равны нулю.

Таким образом, функция v(x, y) = 2e^x * sin(y).

Следовательно, аналитическая функция w(z) выражается как:
w(z) = u(x, y) + iv(x, y) = 2e^x * cos(y) + i * 2e^x * sin(y).

В комплексной форме это можно записать как:
w(z) = 2e^x * (cos(y) + i*sin(y)) = 2e^(x + iy).

Поскольку z = x + iy, то w(z) = 2e^z.

Проверка условия:

Теперь проверим условие w(0) = 2. Подставим z = 0 в найденную функцию:
w(0) = 2e^0 = 2.

Условие выполняется, и найденная функция удовлетворяет всем требованиям. Таким образом, w(z) = 2e^z является аналитической функцией, сопряженной к данной гармонической функции u(x, y).