Условие:
(-7)^(x+Yi)=7
Решение:
Конечно, я помогу. Это задание относится к предмету математика, более конкретно - к разделу комплексных чисел и показательной функции. Задание: \[(-7)^{x + yi} = 7\] Решим это уравнение поэтапно.
Шаг 1: Представление левой части в экспоненциальной форме
Нам нужно представить \((-7)^{x + yi}\) в более удобной для работы форме. Воспользуемся экспоненциальной записью комплексных чисел. Выразим сначала \( -7 \) в экспоненциальной форме: \[ -7 = 7 \cdot (-1) \] Из комплексной формы мы знаем, что: \[ -1 = e^{i\pi} \] Таким образом: \[ -7 = 7 \cdot e^{i\pi} \] Значит: \[ (-7) = 7 \cdot e^{i\pi} \] Теперь выразим \((-7)^{x + yi}\) в экспоненциальной форме: \[ (-7)^{x + yi} = (7 \cdot e^{i\pi})^{x + yi} \]
Шаг 2: Использование свойства экспонент
Свойства степеней говорят нам, что: \[ (ab)^c = a^c \cdot b^c \] Таким образом: \[ (7 \cdot e^{i\pi})^{x + yi} = 7^{x + yi} \cdot (e^{i\pi})^{x + yi} \] Вычисляем первую часть: \[ 7^{x + yi} \] Для второй части нам нужно поднять экспонент: \[ (e^{i\pi})^{x + yi} = e^{i\pi(x + yi)} = e^{i\pi x + i\pi yi} = e^{i\pi x} \cdot e^{-\pi y} \] Так как: \[ e^{i\pi yi} = e^{-\pi y} \] Следовательно, наше уравнение теперь выглядит так: \[ 7^{x + yi} \cdot e^{i\pi x} \cdot e^{-\pi y} = 7 \]
Шаг 3: Сравнение вещественных и мнимых частей
Теперь у нас есть две экспоненты, мы можем их упростить: \[ 7^x \cdot 7^{yi} \cdot e^{i\pi x} \cdot e^{-\pi y} = 7 \] Группируя их снова: \[ 7^x \cdot 7^{yi} \cdot e^{i\pi x} \cdot e^{-\pi y} = 7 \] Так как \( 7^{yi} = e^{yi \ln 7} \): \[ 7^x \cdot e^{yi \ln 7} \cdot e^{i\pi x} \cdot e^{-\pi y} = 7 \] \[ 7^x \cdot e^{y \ln 7 \cdot i} \cdot e^{i\pi x} \cdot e^{-\pi y} = 7 \]
Шаг 4: Уравнивание оснований
Теперь выделим мнимую часть и вещественную отдельно. Значит \( 7^x = 7^1 \): \[ x = 1 \] Теперь уравняем мнимые части: \[ yi \ln 7 + i \pi x - \pi y = 0 \] В результате \( i (y \ln 7 + \pi x - \pi y) = 0 \): Разделим на i: \[ y \ln 7 + \pi(x - y) = 0 \] Подставим наше решение \( x = 1 \): \[ y \ln 7 + \pi(1 - y) = 0 \] \[ y(\ln 7 + \pi) = \pi \] Тогда: \[ y = \frac{\pi}{\ln 7 + \pi} \] Таким образом, \( x = 1 \) и \( y = \frac{\pi}{\ln 7 + \pi} \). Ответ: \( x = 1 \) и \( y = \frac{\pi}{\ln 7 + \pi} \).