Выяснить характер особых точек функции

Это задание относится к предмету «комплексный анализ» или «математический анализ», раздел, связанный с исследованием аналитических функций и особенностей их поведения.

Чтобы определить характер особых точек данной функции, нужно изучить выражение:

Функция: f(z) = cos(z) / [(z + π/2)(z² + 1)²].

Особые точки возникают, когда знаменатель равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

1. z + π/2 = 0. Это дает нам особую точку z = -π/2.
2. z² + 1 = 0. Это дает z = i и z = -i.

Теперь определим характер каждой из этих точек:

1. z = -π/2

   В точке z = -π/2, числитель cos(z) не равен нулю, а знаменатель имеет первый порядок. Это простая полюсная точка.

2. z = i и z = -i

Подводя итог:

• z = -π/2 — полюс первого порядка.
• z = i и z = -i — полюса второго порядка.

Для точек z = i и z = -i числитель cos(z) также не равен нулю (cos(i) и cos(-i) не равны нулю), а z² + 1 обращается в ноль второго порядка. Следовательно, в каждом случае возникает полюс второго порядка, так как (z² + 1)² имеет степень 2 в этих точках.