Данное задание относится к предмету математики, а именно к разделу комплексных чисел.
Шаг 1: Выразим комплексное число в тригонометрической форме
- Представим данное комплексное число \( z = -6 - 6i \). Определим модуль этого комплексного числа: \[ |z| = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]
- Определим аргумент этого комплексного числа. Аргументом числа \( -6 - 6i \) будет угол в координатной плоскости (это четверть III): \[ \arg(z) = \pi + \arctan\left(\frac{-6}{-6}\right) = \pi + \arctan(1) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \]
- Теперь комплексное число можем записать в тригонометрической форме: \[ z = 6\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) \]
Шаг 2: Применим формулу Муавра
Формула Муавра для возведения комплексного числа в степень
\( n \) гласит:
\[ (r (\cos \theta + i \sin \theta))^n = r^n ( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) ) \] В нашем случае
\( r = 6\sqrt{2} \),
\( \theta = \frac{5\pi}{4} \), и
\( n = 3 \). Применим формулу:
\[ (6\sqrt{2} (\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}))^3 = (6\sqrt{2})^3 (\cos (3 \cdot \frac{5\pi}{4}) + i \sin (3 \cdot \frac{5\pi}{4}) ) \]
Шаг 3: Рассчитаем модуль и аргумент
Модуль:
\[ (6\sqrt{2})^3 = 6^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 216 \cdot 2\sqrt{2} = 216\sqrt{2} \] Аргумент:
\[ 3 \cdot \frac{5\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} = 2\pi + \frac{7\pi}{4} \] Так как аргумент может быть приведен к диапазону от 0 до
\( 2\pi \), нужно убрать лишние
\( 2\pi \):
\[ \frac{15\pi}{4} - 2\pi = \frac{15\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \]
Шаг 4: Запишем результат в тригонометрической форме и преобразуем его в алгебраическую форму
Теперь мы имеем:
\[ z^3 = 216\sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) \] Вспомним, что:
\[ \cos \frac{7\pi}{4} = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin \frac{7\pi}{4} = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Подставим эти значения:
\[ z^3 = 216\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 216\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \] \[ z^3 = 216 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) = 216 \cdot (1 - i) = 216 - 216i \]
Итог
\[ (-6 - 6i)^3 = -216 (1 - i) \] Проверим в алгебраической форме:
\[ (-6 - 6i)^3 = -216 - 216i \] Таким образом:
\[ (-6 - 6i)^3 = -216 - 216i. \]