Вычислите интеграл, используя интегральные формулы Коши

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Интегрирование функций комплексной переменной (теорема Коши и интегральная формула Коши)

Дано выражение криволинейного интеграла: \[ \oint_{|z|=3} \frac{3z^2}{(z+2i)^2} \, dz. \]

Для его вычисления воспользуемся интегральной формулой Коши: \[ \oint_{C} \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} \, dz = \frac{2\pi i}{n!} \cdot f^{(n)}(a), \]

где:

• \(f(z)\) — аналитическая функция, определённая в области, содержащей контур \(C\),
• \(a\) — точка внутри контура \(C\),
• \(n\) — порядок полюса,
• \(f^{(n)}(a)\) — \(n\)-я производная от функции \(f(z)\), взятая в точке \(a\).

Разложение выражения:

Перепишем подынтегральное выражение: \[ \frac{3z^2}{(z+2i)^2}. \]

Видно, что в знаменателе стоит \((z+2i)^2\), а значит, это полюс второго порядка (\(n = 1\)) в точке \(a = -2i\).

Проверка положения полюса:

Контур \(C\) задан условием \( |z| = 3\), что означает окружность радиуса 3 с центром в начале координат. Полюс \(a = -2i\) лежит внутри этого контура, так как \( |-2i| = 2 < 3 \).

Применение формулы Коши:

Теперь используем интегральную формулу Коши. Согласно ей: \[ f(z) = \frac{3z^2}{(z+2i)^2} = \frac{3z^2}{(z - (-2i))^2}. \]

Значит: \[ \oint_{|z|=3} \frac{3z^2}{(z+2i)^2} \, dz = 2\pi i \cdot \frac{d}{dz}\Bigg|_{z = -2i} \Big( 3z^2 \Big). \]

Вычисление производной:

Функция \(f(z) = 3z^2\). Найдём её первую производную: \[ f'(z) = \frac{d}{dz}(3z^2) = 6z. \]

В точке \(z = -2i\) значение производной: \[ f'(-2i) = 6(-2i) = -12i. \]

Подстановка в формулу Коши:

Подставляем \(f'(-2i) = -12i\) в формулу: \[ \oint_{|z|=3} \frac{3z^2}{(z+2i)^2} \, dz = 2\pi i \cdot (-12i). \]

Упрощаем выражение: \[ 2\pi i \cdot (-12i) = 2\pi i \cdot (-12) \cdot i = 2\pi \cdot (-12) \cdot i^2. \]

Зная, что \(i^2 = -1\), получаем: \[ 2\pi \cdot (-12) \cdot (-1) = 24\pi. \]

Ответ:

\[ \oint_{|z|=3} \frac{3z^2}{(z+2i)^2} \, dz = 24\pi. \]