Вычислить значение функции f(z) в точке z0

Предмет: Математика

Раздел: Комплексный анализ

Рассмотрим поочередно вычисление значений функций в заданных точках.

Часть (a)

Функция:
 f(z) = \operatorname{ctg} z 
Точка:
 z_0 = \frac{\pi}{2} i + 2 

Формула для котангенса через экспоненты:
 \operatorname{ctg} z = \frac{\cos z}{\sin z} 

Подставим  z_0 :
 \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} i + 2\right) 

Используем представления гиперболических функций:
 \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} 

Тогда:
 \sin(\frac{\pi}{2} i + 2) = i \sinh(2) 
 \cos(\frac{\pi}{2} i + 2) = \cosh(2) 

Следовательно,
 \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} i + 2) = \frac{\cosh(2)}{i \sinh(2)} = -i \coth(2) 

Число  \coth(2)  можно вычислить, но оставим в таком виде, так как оно уже представлено в алгебраической форме.

Часть (b)

Функция:
 f(z) = e^z 
Точка:
 z_0 = -\frac{1}{2} - \frac{\pi}{2} i 

Используем формулу Эйлера:
 e^z = e^x e^{i y} = e^x (\cos y + i \sin y) 

Подставим  z_0 :
 e^{-\frac{1}{2} - \frac{\pi}{2} i} = e^{-1/2} e^{-i \pi/2} 

Так как  e^{-i \pi/2} = \cos(-\pi/2) + i \sin(-\pi/2) = -i , получаем:
 e^{-1/2} (-i) = -i e^{-1/2} 

Таким образом, окончательный ответ:
 -i e^{-1/2} 

Ответы:

(a)  -i \coth(2) 
(b)  -i e^{-1/2}