Вычислить значение функции f(z) в точке z, ответ представить в алгебраической форме комплексного числа

Предмет: Математика
Раздел: Комплексный анализ

Нам дана функция:
f(z) = \cos z

и точка:
z_0 = -\frac{\pi}{2}i - \frac{3}{2}

Найдем значение функции в этой точке, используя формулу для косинуса комплексного аргумента:
\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}

Подставим z_0:
\cos\left(-\frac{\pi}{2}i - \frac{3}{2}\right)

Используем представление косинуса через экспоненты:
\cos(-\frac{\pi}{2}i - \frac{3}{2}) = \frac{e^{i(-\frac{\pi}{2}i - \frac{3}{2})} + e^{-i(-\frac{\pi}{2}i - \frac{3}{2})}}{2}

Упростим показатели экспонент:
e^{i(-\frac{\pi}{2}i - \frac{3}{2})} = e^{\frac{\pi}{2} - i\frac{3}{2}}
e^{-i(-\frac{\pi}{2}i - \frac{3}{2})} = e^{-\frac{\pi}{2} + i\frac{3}{2}}

Разделим экспоненты на множители:
e^{\frac{\pi}{2} - i\frac{3}{2}} = e^{\frac{\pi}{2}} e^{-i\frac{3}{2}}
e^{-\frac{\pi}{2} + i\frac{3}{2}} = e^{-\frac{\pi}{2}} e^{i\frac{3}{2}}

Используем формулу Эйлера:
e^{-i\frac{3}{2}} = \cos\left(-\frac{3}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{3}{2}\right) = \cos\left(\frac{3}{2}\right) - i\sin\left(\frac{3}{2}\right)
e^{i\frac{3}{2}} = \cos\left(\frac{3}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3}{2}\right)

Подставляем:
e^{\frac{\pi}{2}} e^{-i\frac{3}{2}} + e^{-\frac{\pi}{2}} e^{i\frac{3}{2}} = e^{\frac{\pi}{2}} (\cos\frac{3}{2} - i\sin\frac{3}{2}) + e^{-\frac{\pi}{2}} (\cos\frac{3}{2} + i\sin\frac{3}{2})

Разделяем действительные и мнимые части:
\cos\frac{3}{2} (e^{\frac{\pi}{2}} + e^{-\frac{\pi}{2}}) + i\sin\frac{3}{2} (-e^{\frac{\pi}{2}} + e^{-\frac{\pi}{2}})

Используем формулу гиперболического косинуса и синуса:
e^{\frac{\pi}{2}} + e^{-\frac{\pi}{2}} = 2\cosh\frac{\pi}{2}
e^{\frac{\pi}{2}} - e^{-\frac{\pi}{2}} = 2\sinh\frac{\pi}{2}

Подставляем:
2\cos\frac{3}{2} \cosh\frac{\pi}{2} - 2i\sin\frac{3}{2} \sinh\frac{\pi}{2}

Делим на 2:
\cos\frac{3}{2} \cosh\frac{\pi}{2} - i\sin\frac{3}{2} \sinh\frac{\pi}{2}

Таким образом, ответ в алгебраической форме:
\cos\frac{3}{2} \cosh\frac{\pi}{2} - i\sin\frac{3}{2} \sinh\frac{\pi}{2}