Вычислить значение функции f(z) в точке го, ответ представить в алгебраической форме комплексного числа

Предмет: Математика
Раздел: Комплексный анализ

Функция, которую нужно вычислить, — это область определения гиперболического арккосинуса.

Гиперболический арккосинус определяется следующим образом:

 \operatorname{arch} z = \ln \left( z + \sqrt{z^2 - 1} \right) 

Подставляем  z_0 = 3i :

1. Вычисляем  z_0^2 - 1 :
    (3i)^2 - 1 = 9i^2 - 1 = -9 - 1 = -10 

2. Находим квадратный корень:
    \sqrt{-10} = i\sqrt{10} 

3. Подставляем в формулу аркгиперболического косинуса:
    \operatorname{arch} (3i) = \ln \left( 3i + i\sqrt{10} \right) 

4. Представляем выражение в показательной форме:
    3i + i\sqrt{10} = i(3 + \sqrt{10}) 

   Это можно записать в полярной форме:
    r = |i(3 + \sqrt{10})| = \sqrt{(3+\sqrt{10})^2} = \sqrt{9 + 6\sqrt{10} + 10} = \sqrt{19 + 6\sqrt{10}} 

   Аргумент числа:
    \theta = \frac{\pi}{2}  (так как число чисто мнимое и положительное)

5. Логарифм комплексного числа:
    \ln \left( i(3+\sqrt{10}) \right) = \ln \left( \sqrt{19 + 6\sqrt{10}} \right) + i \frac{\pi}{2} 

6. Окончательный ответ:
    \operatorname{arch} (3i) = \frac{1}{2} \ln (19 + 6\sqrt{10}) + i \frac{\pi}{2}