Давайте разберем задачу.
Предмет: Комплексный анализ (раздел математики, связанный с изучением функций, принимающих комплексные значения).
Задание: Вычислить значение элементарной функции \( w = \ln(1+i) \).
Комлексным логарифмом числа \(z = x + yi\) (где \( x, y \) — действительные числа) называется такое число, которое обозначается через \(\ln(z)\), что удовлетворяет \( z = e^w \), где \( w \) — это любой комплексный логарифм числа \( z \).
Шаги решения:
- Запись комплексного числа в полярной форме: Комплексное число \(1 + i\) можно записать в полярной форме как \( r e^{i\theta} \), где \( r \) — это модуль (или абсолютное значение) комплексного числа, \( \theta \) — аргумент (угол). Для числа \( 1 + i \):
- \( r = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
- \( \theta = \arg(1 + i) \) Причём \( \arg(1 + i) \) — это угол, который число \( 1+i \) образует с положительной частью оси действительных чисел, и в данном случае он равен \(\frac{\pi}{4}\).
- Логарифм комплексного числа в полярной форме: Если \(z = r e^{i\theta}\), то \( \ln(z) = \ln(r e^{i\theta}) = \ln(r) + i\theta + 2k\pi i \), где \( k \) — целое число, так как аргумент комплексного числа определяется с точностью до \(2\pi\).
В нашем случае: \( \ln(1 + i) = \ln(\sqrt{2}) + i \left( \frac{\pi}{4} \right) + 2k\pi i \)
- Упрощение выражения: \( \ln(\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \ln(2) \) Поэтому: \( \ln(1 + i) = \frac{1}{2} \ln(2) + i \left( \frac{\pi}{4} \right) + 2k\pi i \) Для упрощения задачи выберем \(k = 0\): \( \ln(1 + i) \approx \frac{1}{2} \ln(2) + i \frac{\pi}{4} \) Таким образом, основное значение \(\ln(1 + i)\) равно \( \frac{1}{2} \ln(2) + i \frac{\pi}{4} \).
Итак, результат: \[ \ln(1 + i) = \frac{1}{2} \ln(2) + i \frac{\pi}{4} \]