Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Комплексные числа".
Задание требует вычисления частного двух комплексных чисел и нахождения мнимой части результата. Мы начнем с того, что выразим данную дробь в стандартной форме комплексного числа. Для этого следует домножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю. Это позволит избавиться от мнимой единицы в знаменателе.
- Дано выражение: \[ z = \frac{3 + 2i}{1 - 2i} \]
- Найдем сопряженное к знаменателю \(1 - 2i\), это \(1 + 2i\). Домножаем числитель и знаменатель на сопряженное: \[
z = \frac{(3 + 2i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)}
\]
Теперь вычислим числитель и знаменатель.
- Раскроем скобки в числителе: \[ (3 + 2i)(1 + 2i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot 2i = 3 + 6i + 2i + 4i^2 \]
Так как \(i^2 = -1\), то: \[ 3 + 6i + 2i + 4(-1) = 3 + 8i - 4 = -1 + 8i \]
- Вычислим знаменатель: \[ (1 - 2i)(1 + 2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 \]
Так как \(i^2 = -1\), то: \[ 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 \]
- Теперь наше выражение выглядит следующим образом: \[ z = \frac{-1 + 8i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{8i}{5} \]
- Выражаем комплексное число в стандартной форме: \[ z = -0,2 + 1,6i \]
- Мнимая часть числа \(z\) равна \(1,6\).