Вычислить выражение

Определение предмета и раздела:

Задание относится к предмету математика, а именно к разделу комплексные числа. Здесь рассматриваются операции с комплексными числами, такие как умножение и взятие комплексно-сопряженного числа.

Постановка задачи:

Нужно вычислить выражение: \[ (3+2i)(5−3i)^* + (-4+3i)^* \] где \( ^* \) — это знак комплексно-сопряженного числа.

Шаги решения:

Шаг 1: Найдем комплексно-сопряженные числа

Комплексно-сопряженное число для числа \( a + bi \) — это число \( a - bi \).

1. Комплексно-сопряженное для \( 5 - 3i \) равно \( 5 + 3i \).
2. Комплексно-сопряженное для \( -4 + 3i \) равно \( -4 - 3i \).

Теперь наше выражение принимает вид: \[ (3+2i)(5+3i) + (-4-3i) \]

Шаг 2: Выполним умножение комплексных чисел

Рассмотрим выражение \( (3+2i)(5+3i) \). Воспользуемся распределительным свойством (правило произведения для комплексных чисел):

Рассчитаем каждое слагаемое:

1. \( 3 \cdot 5 = 15 \)
2. \( 3 \cdot 3i = 9i \)
3. \( 2i \cdot 5 = 10i \)
4. \( 2i \cdot 3i = 6i^2 \) — Так как \( i^2 = -1 \), то \( 6i^2 = 6 \cdot (-1) = -6 \).

Теперь сложим все результаты:
\[ 15 + 9i + 10i - 6 = (15 - 6) + (9i + 10i) = 9 + 19i \]

Таким образом:
\[ (3+2i)(5+3i) = 9 + 19i \]

Шаг 3: Добавим \( -4 - 3i \)

Теперь нужно сложить два комплексных числа:
\[ (9 + 19i) + (-4 - 3i) \]

1. \( 9 + (-4) = 5 \) — действительная часть.
2. \( 19i + (-3i) = 16i \) — мнимая часть.

Итак, получаем результат:
\[ 5 + 16i \]

Ответ:

Ответом к задаче является комплексное число:
\[ 5 + 16i \]

Рассчитаем это выражение, сложив действительные и мнимые части отдельно: