Вычислить вычеты функции относительно ее особых точек

Это задание относится к разделу "Комплексный анализ" математики. Необходимо вычислить вычеты функции \(\text{ctg}^2 z\) в ее особых точках.

Функция \(\text{ctg}^2 z\) имеет особые точки в тех же местах, что и функции \(\sin z\), поскольку \(\text{ctg} z = \frac{\cos z}{\sin z}\) и, следовательно, \(\text{ctg}^2 z = \left(\frac{\cos z}{\sin z}\right)^2 = \frac{\cos^2 z}{\sin^2 z}\).

У функции \(\sin z\) нули в точках \(z = n\pi\), где \(n\) - целое число. В этих точках функция \(\text{ctg}^2 z\) имеет полюса второго порядка.

Для вычисления вычета в полюсе второго порядка используется формула: не нулевое значение коэффициента при \(\frac{1}{(z - z_0)^2}\) в разложении функции в ряд Лорана вблизи особой точки \(z_0\).

Вычислим разложение \(\text{ctg}^2 z\) в ряд Лорана вблизи \(z = 0\), сохранив ту же структуру для \(z = n\pi\).

Разложение \(\text{ctg} z\):

\[\text{ctg} z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{1 - \frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{24} + \ldots}{z - \frac{z^3}{6} + \ldots}\]

Пример \(\text{ctg} z\) около \(z = 0\):

\[\text{ctg} z \approx \frac{1}{z} - \frac{z}{3} + \ldots\]

Таким образом, \(\text{ctg}^2 z\):

\[\text{ctg}^2 z = \left(\frac{1}{z} - \frac{z}{3} + \ldots\right)^2 = \frac{1}{z^2} - \frac{2}{3} + O(z^2)\]

Значит, вычет \(\text{ctg}^2 z\) в точке \(z = 0\) равен \(0\).

Поскольку функция \(\text{ctg}^2 z\) косектична относительно \(n\), вычет в каждой точке \(z = n\pi\) также равен \(0\).

Таким образом, вычеты функции \(\text{ctg}^2 z\) во всех особых точках равны \(0\).