Вычислить с помощью вычетов следующие интегралы

Данный интеграл относится к разделу комплексного анализа, а именно к вычислению интегралов от рациональных функций с помощью вычетов. Подынтегральная функция: \((z+1)/(z^2 + 2z - 3)\).

Поиск особых точек функции

Сначала найдем особые точки подынтегральной функции. Для этого приравняем знаменатель нулю: \[ z^2 + 2z - 3 = 0. \]

Решение квадратного уравнения

1. Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\).
2. Корни уравнения: \[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2}. \]

Это дает: \(z_1 = 1\) и \(z_2 = -3\).

Определение контура \(\Gamma\)

Контур \(\Gamma\) задается уравнением окружности: \(x^2 + y^2 = 16\), что соответствует окружности радиуса 4 с центром в начале координат, на комплексной плоскости \(z\) — окружность с радиусом 4.

Теперь определим, какие особые точки находятся внутри контура \(\Gamma\). Окружность радиуса 4 содержит точку \(z = 1\), но не содержит точку \(z = -3\) (т.к. она не принадлежит диску с радиусом 4).

Вычисление интеграла

Чтобы вычислить интеграл, используем теорему о вычете, применимоую только к особой точке, находящейся внутри контура. Нужно найти вычет функции \(f(z) = \frac{z+1}{(z-1)(z+3)}\) в точке \(z = 1\).

Поскольку \(z = 1\) — простой полюс, вычет вычисляется как:

\[ \text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) f(z) = \lim_{z \to 1} \frac{z+1}{z+3}. \]

Подставим \(z = 1\):

\[ \text{Res}(f, 1) = \frac{1+1}{1+3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]

Теорема о вычетах

По теореме о вычетах, интеграл:

\[ \oint_{\Gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_j), \]

где \(z_j\) — особая точка внутри \(\Gamma\).

Таким образом:

\[ \oint_{\Gamma} \frac{z+1}{z^2 + 2z - 3} \, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2} = \pi i. \]

Результат

Итак, значение интеграла равно \(\pi i\).