Вычислить несобственный интеграл с помощью вычета

Это задание из раздела высшей математики, подраздела комплексного анализа, в частности это задача на вычисление несобственного интеграла с использованием теории вычетов. Чтобы решить это задание, будем использовать метод вычетов в комплексном анализе. Мы будем искать вычет комплексной функции, которая расширяет данную вещественную функцию.

1. Рассмотрим функцию

f(z) = \frac{z^2 e^{iz}}{(z^2 + 1)^2}, где z — комплексная переменная. Мы переходим к экспоненциальной функции, чтобы удобнее обрабатывать осциллирующую часть \cos(x). Комплексная экспонента e^{iz} связана с \cos(x) по формуле Эйлера e^{iz} = \cos(x) + i\sin(x).

2. Определение полюсов функции

Нули знаменателя z^2 + 1 — это z = i и z = -i, но нас интересуют только те, которые находятся в верхней полуплоскости (имеющие положительную мнимую часть), то есть z = i. Полюс второго порядка в z = i.

3. Найдем вычет функции в полюсе z = i

Для этой цели для полюса второго порядка формула вычета сложнее: \text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} \frac{d}{dz} \left[ (z - i)^2 \cdot f(z) \right]

4. Вычисляем производную

• Начальная функция: f(z) = \frac{z^2 e^{iz}}{(z^2 + 1)^2}
• Преобразование: (z - i)^2 \cdot f(z) = \frac{z^2 e^{iz}}{(z + i)^2}

5. Применение интегральной теоремы Коши

\int f(z) dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, i)

В данном случае контур интеграла — это верхняя полукруговая часть, включающая вещественную ось и бесконечно удалённую полукруглую область в верхней полуплоскости. Так как вклад от дуги стремится к нулю при большом радиусе, интеграл по вещественной оси приближенно равен 2\pi i \cdot \text{Res}(f, i).

6. Заключение

Это значение резиду можно считать, что это и будет значение интеграла по вещественной части. Важно: Для детальных вычислений производных и пределов потребуется точное выполнение алгебраических операций, которое предполагается делать вручную или с помощью символьных вычислительных систем, таких как Mathematica или Maple.

Дифференцируем и подставляем z = i.