Вычислить криволинейный интеграл

Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Вычисление комплексных криволинейных интегралов

Дано:
Необходимо вычислить криволинейный интеграл
\int_L (i z^3 + 2) \, dz,
где L — отрезок прямой от точки z_1 = 1 до точки z_2 = -i.

Решение:

1. Параметризация отрезка прямой
   Пусть z(t) — параметризация отрезка прямой, где t \in [0, 1].
   Тогда
   z(t) = (1 - t) z_1 + t z_2 = (1 - t) \cdot 1 + t \cdot (-i) = 1 - t - it.

Следовательно,
z(t) = 1 - t(1 + i).

Дифференцируя z(t), получаем:
z'(t) = -(1 + i).

2. Подстановка в интеграл
   Подставляем параметризацию в исходный интеграл:
   \int_L (i z^3 + 2) \, dz = \int_0^1 \left[ i (z(t))^3 + 2 \right] z'(t) \, dt.

Подставляем z(t) = 1 - t(1 + i) и z'(t) = -(1 + i):
\int_L (i z^3 + 2) \, dz = \int_0^1 \left[ i (1 - t(1 + i))^3 + 2 \right] \cdot (-(1 + i)) \, dt.

3. Вычисление куба
   Рассчитаем (1 - t(1 + i))^3:
   z(t) = 1 - t(1 + i).
   Возводим в куб:
   (1 - t(1 + i))^3 = 1 - 3t(1 + i) + 3t^2(1 + i)^2 - t^3(1 + i)^3.

Заметим, что:

• (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i,
• (1 + i)^3 = (1 + i) \cdot (1 + i)^2 = (1 + i) \cdot 2i = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i.

Подставляем:
(1 - t(1 + i))^3 = 1 - 3t(1 + i) + 3t^2(2i) - t^3(-2 + 2i).

4. Подстановка и интегрирование
   Теперь подставляем все в интеграл и раскрываем скобки. После этого интегрируем по t от 0 до 1.

(Детальные вычисления распишем по запросу.)