Предмет: Комплексный анализ
Раздел: Вычетная теорема, вычисление контурных интегралов
Задание: Вычислить контурный интеграл с использованием вычетов.
Условие:
Нужно вычислить контурный интеграл
\[
\int_{|z + i| = 2} \frac{3 \sin z}{z + i} \, dz.
\]
Решение:
1. Предварительный анализ
Интеграл задан по контуру
\( |z + i| = 2 \), который представляет собой окружность радиуса 2 с центром в точке
\( z = -i \) в комплексной плоскости. То есть, контур огибает точку
\( z = -i \).
Также, подинтегральная функция имеет полюс в точке, где знаменатель обращается в ноль:
\[
z + i = 0 \quad \Rightarrow \quad z = -i.
\]
Это простой полюс в точке
\( z = -i \), который попадает внутрь контура
\( |z + i| = 2 \).
2. Теорема о вычетах
Чтобы вычислить контурный интеграл с простым полюсом, можно воспользоваться теоремой о вычетах:
\[
\int_{\Gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \mathrm{Res}(f, z_0),
\]
где
\( \mathrm{Res}(f, z_0) \) — это вычет функции
\( f(z) \) в точке
\( z_0 \), а контур
\( \Gamma \) охватывает полюс.
В нашем случае эта теорема применима для полюса в точке
\( z = -i \), и под
\( f(z) \) у нас:
\[
f(z) = \frac{3 \sin z}{z + i}.
\]
3. Вычислим вычет
Чтобы найти вычет функции в точке
\( z = -i \), нужно вычислить предел:
\[
\mathrm{Res}\left( \frac{3 \sin z}{z + i}, -i \right) = \lim_{z \to -i} (z + i) \cdot \frac{3 \sin z}{z + i}.
\]
Очевидно, что
\( (z + i) \) сокращаются, в результате получаем:
\[
= \lim_{z \to -i} 3 \sin z = 3 \sin(-i).
\]
Заметим, что
\( \sin(-x) = -\sin(x) \), следовательно:
\[
\sin(-i) = -\sinh(1),
\]
где
\( \sinh(1) \) — это гиперболический синус от 1.
Тогда вычет равен:
\[
\mathrm{Res} = -3 \sinh(1).
\]
4. Применим теорему о вычетах
Теперь мы можем вычислить контурный интеграл:
\[
\int_{|z + i| = 2} \frac{3 \sin z}{z + i} \, dz = 2 \pi i \cdot (-3 \sinh(1)) = -6 \pi i \, \sinh(1).
\]
Ответ:
\[
\int_{|z + i| = 2} \frac{3 \sin z}{z + i} \, dz = -6 \pi i \, \sinh(1).
\]